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必修4 第二章 平面向量 〖2.1〗平面向量的实际背景及基本概念 （1）向量的有关概念 ①模（长度）：向量的大小，记作||. ②零向量:长度为0的向量,记作. ③单位向量:长度等于1个单位的向量. ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,还规定零向量与任一向量平行. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量. 〖2.2〗平面向量的线性运算 【2.2.1】向量加法运算及其几何意义 （1）向量的加法法则 ①平行四边形法则 ②三角形法则 （2）（前面等号在反向时成立，后面等号在同向时成立） 【2.2.2】向量减法运算及其几何意义 （3）相反向量 与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作．零向量的相反向量仍是零向量． （4）向量的减法法则 三角形法则 （指向被减向量的终点） （5）（前面等号在同向时成立，后面等号在反向时成立） 【2.2.3】向量数乘运算及其几何意义 （6）实数与向量的积的定义 一般地,实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下： ①||=||||； ②当0时,的方向与的方向相同；当0时,的方向与的方向相反；当=0时,=. （7）实数与向量的积的运算律 ①结合律:()= ②第一分配律:=+ ③第二分配律:(+)=+ （8）两个向量平行的等价条件 ①向量形式：向量与非零向量共线（平行）有且只有一个实数，使得=. ②坐标形式：若=(,),=(,),且，则∥. 〖2.3〗平面向量的基本定理及其坐标表示 【2.3.1】平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 ①如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数、,使=+. ②我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （2）向量与的夹角 ①夹角范围：； ②当时，；当时，与同向；当时，与反向. 【2.3.2】平面向量的正交分解及坐标表示 （3）向量的坐标表示 设、分别为轴正方向与轴正方向上的单位向量，若向量，则向量的坐标表示为. （4）向量的坐标与表示向量的有向线段端点坐标的关系 ①已知A(,),B(,),则=()； ②特别地，当向量的起点在原点时，则向量的坐标与表示向量的有向线段的终点坐标相同. 【2.3.3】平面向量的坐标运算 （5）平面向量的坐标运算 ①向量加法:若=(,),=(,),则+=(+,+). ②向量减法:若=(,),=(,),则-=(-,-). ③数乘向量:若=(,),R,则=(,). 【2.3.4】平面向量共线的坐标表示 （6）线段的定比分点（作为了解，能记最好） ①分有向线段所成的比 设、是直线上的两点，点是上不同于、的任意一点，则存在一个实数，使，叫做点分有向线段所成的比．，当在线段上时，为内分点，此时取“+”；当在线段的延长线上或在的延长线上时，为外分点，此时“-”，（其中为起点，为分点，为终点）． ②定比分点坐标公式 设，且，则． （7）线段中点坐标公式 当上面的=1时，即当点是线段的中点时，有． （8）三角形重心坐标公式 已知三角形的三个顶点坐标分别为A(,),B(,),C（），则重心坐标为． 〖2.4〗平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的概念 ①向量形式 =||||cos（其中为与的夹角，且）. ②坐标形式 若=(,),=(,),则=. ③在方向上的投影为：（其中为与的夹角）. （2）平面向量数量积的重要性质 ①垂直:向量形式 设,都是非零向量,=0. 坐标形式 若=(,),=(,),=0. ②长度:向量形式 ==||，即||=. 坐标形式 设，则||=,即||=. ③夹角:向量形式 cos=. 坐标形式 若=(,),=(,),则cos=. ④向量模的不等式： 向量形式 （当且仅当时取等号）. 坐标形式 （当且仅当时取等号）. （3）平面向量数量积的运算律 ①交换律： ②数乘结合律： ③加乘分配律： （4）平面内两点间的距离公式 向量的起点和终点的坐标分别是(,),(,),则||=. （5）向量运算与实数运算的几个区别 ①当时，不能推出. ②（向量乘法结合律不成立）. ②（当且仅当时取等号）. 下鱼制造