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圆锥曲线的相关问题1．设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．切线l的方程为________．2．已知圆O的方程为x2＋y2＝2，圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是________．3.【湖北省黄冈中学2013届高三11月月考】已知方程所表示的圆有最大的面积，则直线的倾斜角_______________．4．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为________．解析：圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为，即＝，解得k＝±2，又k0，所以k＝2.5．已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a0)与直线y＝3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为________． [解析] 圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a＞0)的圆心为(a，a)，半径为1，圆心到直线y＝3x的距离d＝，半弦长为＝，∴△CPQ的面积S＝·＝，易知当a2＝时，10a2－4a4取得最大值，最大值为10×－4×()2，∴△CPQ的面积的最大值为＝，此时a＝.6．已知点A(0，2)为圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a0)外一点，圆M上存在点T使得∠MAT＝45°，则实数a的取值范围是________．解析] 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝2a2，圆心为M(a，a)，半径r＝a∴|AM|＝，|TM|＝a.∵|AM|，|TM|的长度固定，∴当T是切点时，∠MAT最大．∵圆M上存在点T使得∠MAT＝45°，∴＝≥sin∠MAT＝sin 45°＝，整理得a2＋2a－2≥0，又a0，∴a≥－1.又＝1，解得a1.综上可得，－1≤a1.7． 已知成等差数列,点在直线上的射影点为,点,则的最小值为_____________ .【答案】由题 ，即，故直线过定点A（1，－2） ∵ ∴∴ N点的轨迹为以AM为直径的圆C： ∴8(本小题满分12分)已知圆C的方程为：x2＋y2－2mx－2y＋4m－4＝0.(m∈R)．(1)试求m的值，使圆C的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(1，－2)的直线方程．解　圆C的方程(x－m)2＋(y－1)2＝(m－2)2＋1，(1)当m＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．(2)当m＝2时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设所求的直线方程为y＋2＝k(x－1)，即kx－y－k－2＝0，由直线与圆相切，得＝1，k＝，所以切线方程为y＋2＝(x－1)，即4x－3y－10＝0，又因为过点(1，－2)的直线x＝1与圆相切，所以切线的方程为x＝1或4x－3y－10＝0.9、已知圆O：，O为坐标原点．（1）边长为的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．（ⅰ）求轨迹E的方程；（ⅱ）过轨迹E上一定点作相互垂直的两条直线，并且使它们分别与圆O、轨迹E 相交，设被圆O截得的弦长为，设被轨迹E截得的弦长为，求的最大值．（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．解：（1）（ⅰ）连结OB，OA，因为OA=OB=1，AB=，所以，所以，所以，在中，，所以轨迹E是以O为圆心，为半径的圆，所以轨迹E的方程为； （ⅱ）设点O到直线的距离分别为，因为，所以， xODBA11Cy，则≤4=， 当且仅当，即时取“=”，所以的最大值为； xODBA11Cy（2）设正方形边长为a，，则，． 当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在中，，即，由，此时；当A、B、C、D按逆时针方向时，在中，，即， 由，此时， 综上所述，线段OC长度的最小值为，最大值为． 10 已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为．设该动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线方程； （2）点为直线：上任意一点，过作曲线的切线，切点分别为、 ，面积的最小值及此时点的坐标.【知识点】椭圆方程 直线与椭圆位置关系 H5 H8 【答案】（1）；（2）其最小值为，此时点的坐标为.【解析】解析：（1）设动圆圆心坐标为，根据题意得 ， （2分） 化简得.（2分） （2）解法一：设直线的方程为， 由消去得 设，则，且 （2分） 以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为 即 同理过点的切线的方程为 设两条切线的交点为在直线上， ，解得，即则：，即 （2分）代入 到直线的距离为 （2分）