双学位 单调性.pptVIP

第三节 一、 函数单调性 例1. 确定函数 说明: 例2. 证明 证明 二、函数的极值及其求法 定理 2 . 注: 定理 3 (第一判别法) 例3. 求函数 定理4 (第二判别法) 例2. 求函数 二、最大值与最小值问题 特别: 例3. 求函数 例3. 求函数 * * 一、函数单调性 二、函数的极值 函数的单调性、极值和最值 第三章 三、函数的最值 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 不妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 即 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则函数的单调性不改变. 例如, 时, 成立不等式 证: 令 从而 因此 且 令 则 从而 即 (1) 则称 为 的极大值点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小值点 , 称 为函数的极小值 . 极大值点与极小值点统称为极值点 . 取极值， 证明： 于是 为极大值点 为极小值点 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. 例如 为极大值点 , 是极大值 是极小值 为极小值点 , (1) (2) (3) 的极值 . 解: 令 得 且当 时， 列表如下 是极大值点， 极大值为 是极小值点， 极小值为 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 证: (1) 存在 由第一判别法知 (2) 类似可证 . 的极值 . 解: 令 得驻点 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别. 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内可能的极值点 (2) 最大值 最小值 当 在 内只有一个可能的极值点时, 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 点是否为最大 值点或最小值点 . (小) 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解: 故函数在 取最小值 0 ; 在 及 取最大值 5. 在闭区间 上的最大值和最小值 . 另解: 令 故函数在 取最小值 0 ; 在 及 取最大值 5. * * * *