双学位 中值定理.pptVIP

第一节 一、罗尔( Rolle )定理 则M 和 m中至少有一个与端点值不等, 例1. 证明方程 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 例2. 证明等式 例3. 证明不等式 三、柯西(Cauchy)中值定理 作辅助函数 柯西定理的几何意义: 例4. * * 一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 微分中值定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 此时 则在( a , b ) 内至少存在一点 若 设 则至少存在一点 使 下证 由于f(x)在 处取最大值,从而对任意的 都有 由条件知 即 存在, 而 故 若 M m, 不妨 注：定理条件条件缺一不可. 例如, 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真. 设 (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 则至少存在一点 使 作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . 令 则 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 类似可证: 注: 欲证 时 只需证在 I 上 证: 设 中值定理条件, 即 因为 故 因此有 分析: 及 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 则至少存在一点 使 满足 : 要证 可取 且 使 即 由罗尔定理知, 至少存在一点 证： 由于 注意: 弦的斜率 切线斜率 至少存在一点 使 证: 结论可变形为 设 则 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ? , 使 即 证明 运行时, 点击“二. 拉格朗日中值定理”, 或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自行返回。 运行时,点击标题“三、柯西----” 或 “柯西”按钮, 或相片, 可显示柯西简介, 并自动返回. 运行时, 点击 “费马引理” 可显示费马简介. * * * *