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黄先开 辅导地位：历届考生公认的“线性代数第一人”，北京理工大学应用数学系硕士，中国科学院数学与系统科学研究院获博士，美国哈佛大学访问学者，现任北京工商大学数学系主任、教授。 授课特点：理论扎实，表达独到，基础为纲，技巧为器，言简意赅，重点突出，伐毛洗髓，效果极佳 名师风采：曾被评为北京市优秀青年骨干教师；1997年被授予“有突出贡献的部级青年专家”称号；曾在国内外一级刊物上发表论文30余篇，单独完成以及合作完成数学专著10多部。 加强计算能力训练 注重综合思维能力培养 ——谈考研线性代数复习 恩波考研数学名师黄先开 众所周知，教育部考试中心研究生入学考试命题的基本原则是：严格按照考试大纲规定的考试内容与考试要求命题，试题以考查基本概念、基本原理和基本方法为主，要加强对考生的运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力和综合应用所学知识解决实际问题能力的考查. 根据这一命题原则并结合线性代数这门学科的特点，我认为考生在备考阶段的复习，一方面要重视“三基”，通过全面系统的复习，扎扎实实把基础打好；另一方面要注重能力的培养，特别是计算能力和综合思维能力的培养.基础的重要性是不言而喻的，没有基础，其他方面都无从谈起，但较好地把握了基础后，想要进一步有所提高，就必须注重能力的训练了.线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 相当一部分同学在复习做题过程中会有这样的体会：对问题所涉及的概念、原理都很清楚，计算方法也知道，但就是无法算出正确答案来，或是计算有误，或是根本无法演算下去，造成不应有的丢分. 例1 (2003年数学三)已知齐次线性方程组 其中试讨论满足何种关系时, (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 分析 本题思路方法比较直接：当系数矩阵的行列式不为零时，仅有零解；当系数矩阵的行列式等于零时，有非零解.但涉及到行列式的计算、初等变换化矩阵为阶梯形以及求基础解系等大量的计算问题，特别是含有多个参数，进一步增加了计算的难度. 解 方程组的系数行列式 (1)当； (2)当b=0时，原方程组的同解方程组为 由可知ai(i=1,2,…,n)不全为零，不妨设.因为秩r(A)=1，取为自由未知量，可得方程组基础解系为 …， 当,系数矩阵可化为 由于秩r(A)=n1，易知Ax=0的基础解系为 评注1 本题行列式的计算方法很多，例如，系数矩阵可表示为 而r(B)=1,可方便地求出B的特征值为0,0,…,0，于是的特征值为 从而根据特征值可求出行列式为 评注2 当时，注意到系数矩阵A的秩为r(A)=n-1,而显然为Ax=0的一个解，即可作为基础解系. 例2 （2003年数学一）设矩阵 的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵. 分析 本题是基础题型，思路非常明确：先求A*及，然后计算B=P-1A*P及B+2E，最后求B+2E的特征值、特征向量，但计算量大，稍有疏忽，将很难得到最终的正确结果. 解 由又由可得 于是 根据 可知B+2E的特征值为 解 [9E-（B+2E）] x =0,得基础解系为因此属于的所有特征向量为是不全为零的任意常数. 解[3E（B+2E）] x =0,得基础解系为 为非零的任意常数. 评注 本题直接计算，工作量是相当大的.若由定义A α=α,有 若求出A的特征值及对应特征向量α, 则B+2E的特征值为及对应特征向量P-1α这样就不必求A*. 且根据的特征值为0,0,6，从而A的特征值为1,1,7. 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 线性代数概念多，公式、定理也多，巧妙地利用已有的公式与结论，往往可以达到简化计算的目的. 例如有关A*的公式结论有：AA*= A*A=|A|E，由此还可推出一系列相关的公式： (2)若A可逆，则A *=| A | A -1, (A*)-1 (3) (4) (5) 若A可逆，且为A的特征值，则A*有一个特征值为. 例3 （2000年数学一）设矩阵A的伴随矩阵，且ABA-1=BA-1+3E，其中E是4阶单位矩阵，求矩阵B. 分析 本题相当于解矩阵方程.若先从A*求出A-1及A，再代入已知关系式求B，则计算量会相当大.考虑到题设与A*有关，若先用A*A=AA*=|A|E化简，则方便得多. 解 由ABA-1=BA-1+3E