线性代数客观题技术.docVIP

客观题技术 1. 选择题技术 选择题的目的是考查基础知识和基本概念(即考察所谓的常识)，因此没有繁杂或困难的题目。对付的办法自然是越简单越好；另外，选择题的特点是四选一，故只要知道其中一个是对的，其余就可以不管了。 例1 下列命题错误的是［ ］。 A.若A和B可交换,则AB10和BA10也可交换; B.若A-B和A+B可交换,则A和B也可交换; C.若A和B可交换,则AT和BT也可交换; D.若AB和BA可交换,则A和B也可交换. 解 若每个结论都去辨别真伪，则一道选择题就变成了4道证明题，大大亏本，故需要好办法：常识！当A和B可交换时，一切与A，B有关的矩阵就都可以交换了，因此A，C均正确，可以排除；要从B，D中选择，有两个办法：一是直接计算A-B与A+B的乘积，得(A-B)(A+B)=A2+AB-BA-B2，而(A+B) (A-B)=A2-AB+BA-B2,于是A2+AB-BA-B2 =A2-AB+BA-B2，从而2AB=2BA，故B正确，所以选D，但此法显然较麻烦；二是继续发动你的常识：在上矩阵第一节课的时候，老师谆谆教导我们，两个非0矩阵A,B的乘积AB可能等于0，那时老师没说过AB=BA，可见，AB=0,但可能BA(0，故D错，选D！ 注解：一般而言，当选择题的选项都是“若…,则…”之类的命题时，可以选择条件最复杂的选项作为突破口；而且，概率很大地，该选项就是最终的答案。 例2 设A,B均为m×n矩阵,且矩阵方程AX=B有解，则必有［］。 A. r(A)(r(B) B. r(A)(r(B) C. r(A)0 D. r(B)0 解 正解(力敌)：由于r(B)=r(AX) (min{r(A),r(X)}, 故选B。 巧解(智取)：如果一时半会想不起来正解，可以从最简单处着手，同时取A＝B＝0，则方程显然有解，故C，D均错；而A(0，B=0时方程依然有解，故A也错，不选B选什么？（不想得分都不可能！）回忆：此法称为排除法。 例3 已知 为三阶方阵，，则 。 A.15 B. –9 C. –27 D.-171 解 正解: 巧解：令，则，于是,所以选B。此称为特殊值法。（启示：最简单的就是最漂亮的！） 例4 设 n阶方阵A的各行与各列之和均为0，则[ ]. A. A的秩为0 B. A的代数余子式全相等 C. A为对称矩阵 D. A的秩小于n-1 解 此题即使高手亦费思量。此时，A不可逆，故其秩r(n-1.如果rn-1,则A的所有代数余子式均为0；如果r=n-1,则r(A*)=1，且向量(1,1,…,1)T是方程Ax=0的一个基础解系;由于AA*=0,A*的列向量均是方程Ax=0的解，因此A*的每一列中的元素均相等；同理，由于A*A=0,故A*的每一行均为方程yA=0的解，而(1,1,…,1)是该方程的一个基础解系，故A*的每一行中的元素均相等,从而A*的元素均相等；故应选B。 巧解：取可知A,D均错。满足条件的二阶矩阵均具有形式，此时B,C均正确。故考虑三阶矩阵。由上面的二阶矩阵，可令，它显然满足条件，但非对称矩阵，排除C，选B！ 例5 设为n维向量组，且 ，则 . B. C. D. 解 最错的是D(林子越大鸟越多，怎么可能减少呢？)。再错的是B(两片林子合在一起，鸟不会比各自的鸟加起来更多：因为有些鸟属于两片林子！)。于是C也错(两片林子合在一起，鸟可能真会比每一片的鸟都多)。所以选A。(启示：线性代数实际上是逻辑，是常识，是思想和智慧。) 例6 设4(3矩阵A的秩r(A)=2, B=,则r(AB)=[ ]. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 正解:注意B是可逆矩阵，因此r(AB)=r(A)（可逆矩阵右乘一个矩阵,相当于对该矩阵实行一系列列初等变换,不改变秩），故选C. 巧解:你知道最简单的4×3矩阵吗？好，就令A是这个矩阵，即，计算AB可得，，幸福！这个矩阵的秩是2！ 例7．设是线性方程组Ax=0的解，则系数矩阵A可以取为［ ］。 A． B. C. D. 正解:该方程组有3个未知数，而(，(显然线性无关，故一个基础解系至少包含2个向量，从而知道系数矩阵的秩r ( 3-2=1.纵观四个选项，只有D的秩( 1，故选D。 巧解:容易想到将两个解(与(代入,此时悲剧发生:因为(确实满足A(验证了四次!),(也满足前两个方程,此时若将A选定,则非常不幸.但注意到(和(的特殊关系,懒人可以用懒办法(此懒办法是思考的结果):也是方程的解,于是系数矩阵的第二列必须都是0!