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浅析三角函数周期的求法 温州中学 谢正康 周期函数与三角函数的周期 函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有＝成立，那么叫周期函数。常数叫这个函数的周期，周期函数的周期不只一个，若在所有的周期中存在一个最小正数，这个最小正数叫这个函数的最小正周期。 求三角函数的周期，一般是指求最小正周期，是指使函数值重复出现的自变量本身所增加或减少的最小正值。换句话说：三角函数的最小正周期是指使函数值重复出现的自变量要加上的那个最小正数，每增加函数值就重复出现，而对而言，因为，当自变量每增加到，且必须增加到时，函数值才能重复出现，因此的周期是，由此可知，三角函数的周期是与自变量有关的。否则会认为的周期仍是。 基本三角函数，简单复合三角函数与含绝对值的三角函数的周期， 从三角函数的作法看出：正弦、余弦、正割、余割的三角函数，当每增加至时，函数值就会重复出现，因此的周期是。而正切、余切，仅当角增加至时，它的值就重复出现，可见的周期是，以上六种三角函数的周期为基本三角函数的周期 的周期是；的周期是。的周期；而 , 的周期是。熟悉以上这些三角函数的周期，对求其它形式的三角函数的周期有十分重要的作用。 类三角函数周期的求法： 利用基本三角函数周期与周期函数定义求三角函数的周期： 例1：求下列三角函数的周期 （1）， （2）， （3） 解：（1） 由周期函数定义知 的周期是4 （2） ＝ 由周期函数的定义知，的周期是 （3） 由周期函数的定义知，的周期是6 从上可知， 一个复合三角函数的周期等于它相应的基本三角函数的周期与自变量系数的商的绝对值。 如果一个函数是正弦，余弦函数的和或差，则求此函数的周期，可先找出各个加数函数的最小正周期，再找出所有加数周期的最小公倍数就是此函数的周期。 例2：求下列函数的周期 （1） （2） 解：（1）的周期 的最小公倍数是2； 的周期是2 （2）的周期 的周期是 ，因此的周期是2， 两个正切函数和的形式可以用以上方法求周期，但对正切与余切的差则不能用这种方法解。 例 周期是，而函数的周期却不是；事实上， ＝ 因此，的周期是 转化为 或 再求其周期 例3：求下列三角函数的周期 （1） （2） 解：（1） 的周期是 （2）解法一： 用例2的方法求得函数的周期为 解法二： （其中 的周期是 4、其它一些类型的三角函数的周期，可灵活应用倍角公式两角的和与差及三角恒等式化为上述形式来求其周期。 例4：求下列三角函数的周期 （1） （2） （3） 解（1）＝ 的周期是 （2） 的周期是 （3） －3 的周期是 四：证明是的最小正周期， 通常分二步，第一步验证：对定义域内任意都成立；第二步，用反证法证明不可能有比小的正周期。 例5：求证 的最小正周期是 证明： 对任意成立，是的一个周期 假设不是的最小正周期，即存在，使： 对任意的成立，令 得： 所以 但 所以 ， 则 与（1）矛盾 即：的最小正周期是