注重挖掘隐含条件，顺利解决三角问题.docVIP

从三角中的学生错题，看隐含条件 福州延安中学 戈福振 摘要：解题的实质是实现由题设到结论的转化。一些数学问题或给人条件不足的假象，或对结论暗含限制条件，不仅给解题带来困难，也容易发生错误，这就需要注意挖掘隐含条件。三角函数是中学数学教学的一个重要内容，在最近几年的高考试题中均占有较大的比例。但是学生在处理这一类问题时常常会出现漏解、增解、错解的现象，其根本原因是对题设条件中的隐含条件的挖掘不够。在三角函数的有关问题中，学生往往忽略题目所给的隐含条件。忽略隐含条件就会导致解题出错或没有思路。本文从几个实例浅谈如何挖掘三角函数中的隐含条件，从而提高解题的准确性和拓展解题思路，最终提高解题能力。 关键词：隐含条件 解题能力 数学解题发掘 一、注意隐含条件，提高解题的准确性 1、隐含在三角函数值中 当已知某角的三角函数的具体值时，应将其对应的角缩小到尽可能小的范围内，不然将可能产生增根。 例1、 误解： ，，因为， 所以 故或或 评析：这个题目的解答没有注意已给出的三角函数值对角的范围的影响。 因为，，所以， 又， 所以，因此，故 例2、已知方程的两根为，求 误解：由题可知：， 或 评析：上面的解法是没有对解出的两个值进行检验，因为， 所以，，所以，，而，所以，故 2、隐含在三角形内角中 当题设条件中涉及到与三角形有关的内容时应注意三角形内的三个内角之和为，且三个内角均大于零，三个内角中到多有一个钝角或直角等隐含条件。 例1、（课本） 误解：，又因为。 因为cosC=－cos(A+B)=－cosAcosB+sinAsinB，从而或。 　 评析：在上述解法中出现两个解的原因是没有对角A的具体范围进行确定，从而导致角A范围扩大，产生了增根。事实上，由于，所以sinAsinB, 由正弦定理知ba，故知，所以只能是锐角。从而，所以所求的结果只有一种即。 例2、在锐角三角形中，a,b,c分别是三内角A,B,C的对边，且B=2A,则的取值范围（ ） A (-2,2) B (0,2) C (1,2) D 误解：由正弦定理得 ， 评析：本题极易由于没有充分体现是锐角三角形或漏掉这一条件对角的范围的影响而造成错解。， 得到，所以 3、隐含在三角式中 例1、若3sin2α+2sin2β=2sinα，求sin2α+sin2β的值的变化范围。 误解： 由题设知sin2β=（2sinα－3sin2 ∴sin2α+sin2β=sin2α+（2sinα－3sin2=－sinα－1）2+ 1≤sinα≤1. ∴－≤sin2α+sin2β≤ 评析：确定sinα的变化范围的时候忽视了0≤sin2β=（2sinα-3sin2α） ≤的隐含条件，事实上由此得到0≤sinα≤，故0≤sin2α+sin2β≤。 〖引导〗 寻找变量的取值范围时，要注意与此有关的所有条件。 例2、（2009全国卷Ⅱ理）设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。 分析：由，易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。 也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。 二、注意隐含条件，拓展解题思路 １、注意挖掘式子中的角度 一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角、特殊角与已知角、已知角与已知角的和差倍数，利用三角公式可以实现顺利解答． 例１、[2012·重庆卷] ＝(　　) A．－ B．－C. D. 解析： ＝ ＝ ＝sin30°＝，选C.的值． 解析：令，则原式 ． 例3、已知，是第一象限角，则的值是： 。 解析：由于是第一象限角， ∴，于是=。 解决本体的关键在于注意到已知角与未知角之间的关系，利用这种关系借用整体法顺利快捷的解决本题。在解决一些一直角度位置角度都是一个式子的求值问题中经常用到这种方法。 2、注意挖掘三角函数值的特殊性 例1 、已知 ＝ 1，求 。 解析：本题条件为＝1，若转化到上去，一般想法为“积化和差”，或将展开。但若联想到正弦函数的有界性这一隐含性质，即：，可知：条件＝1只存在两种可能＝＝1或＝ ＝ -1 。 ∴易得 ∴ 例2 、函数f(x)＝－2，则＝________．[2013·新课标全国卷]16题改编） 解析：的值刚好为f(x)＝－2＝的最大值，令＝，＝，则f(x)＝(x－α)．当θ－α＝2k＋，即θ＝2k＋＋α(上述k为整数)时，(x)取得最大值，此时 ＝－＝－，或降幂公式等借助降幂策略解答． 例1 、若，求的值． 解析：由，得，（舍去）．由，又可得， 则，又由，得，故，代值可得． 评注