有用的邮箱定理.PDFVIP

非常有用的郵箱原理非常有用的郵箱原理 非常有用的郵箱原理非常有用的郵箱原理 郵箱原理 (Pigeonhole Principle) 或稱鳥巢定理 、抽屜定理是一個有趣 及有用的定理 ，它可以用來解決一些非典型的數學問題 ，很多生活上 遇到的問題皆可運用郵箱定理解決 ；千萬不要以為該定理很複雜或很 難理解 ，一般的小學生甚至普羅大眾都能明白甚至現實生活中曾應用 過。要說明該定理很簡單 ： 「一名郵差將n + 1封信放入 n 個郵箱內 ，其中必存在一個郵箱須放入 至少 2 封信 。」 夠簡單了吧 ？郵箱定理就是這麼的一條簡單定理 ，將n + 1件不同的物 件分配至 n 個集內 ，必存在一個集被分配了至少 2 件物件 。這條顯淺 的定理相信絕大部分人都不需要嚴謹的數學證明都有足夠的信心去 相信這條定理 。郵箱定理可作推廣得到它的強代版本： 若將 n + k ( n, k 0 )件不同的物件分配到 n 個集 內，必存在一個集被分 n + k 配了至少 件物件 ，其中x 表示大於或等於 x 的最小整 ，如 n 2.5= 3 ，7= 7 ，− 1.5= − 1 。 一般情況運用最簡單的郵箱定理已能解決很多問題 ，試看下列例子 1. 若從 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}任意選出 7 個 ，其中必存在兩 其和等於 12 。 解法很簡單 ，想像該 11 個數被安排放入了這 6 個”郵箱” ： {1, 11} {2, 10} {3, 9} {4, 8} {5, 7} {6} 根據郵箱原理 ，必存在一個郵箱被選出兩個 ({6}不在此限 ，但不會 影響結果) ，因除{6}之外所有郵箱所裝的數共和皆是 12 ，證畢。 要利用郵箱原理解決上述問題 ，要花心思設計郵箱所裝的物件和郵箱 的數量 ，可再可下列例子。 2. 證明從 n 個正整數中任意選取兩 ，其差必可被n − 1整除 。 首先 ，所有正整數除n − 1的餘數必為 0, 1, 2, , n -3, n - 2 (共 n − 1個) 。 { } 由郵箱原理可知必有兩數除n − 1的餘數相同 ，因此其差必可被n − 1整 除，證畢 。今次的郵箱星所有正整數除n − 1的餘 。 3. 證明從 1× 1的正方形任意選取五點 ，其中必存在兩點的距離少於 2 。 2 將該正方形平分成四份 ，其中必有兩點落在同一小正方形內 ，由畢氏 2 2 1 + 1 2 定理可知該兩點的距離必少於 = 。 2 2 4. 證明從七個任意實數中 ，必存在兩數符合不等式 x − y 1 0 1+ xy 3 同樣道理 ，我們須運用郵箱原理，設計合適的郵箱，這條題目就留給 同學思考吧 。 tan(α − β ) = tanα − tan β ，且任何實 x ，存在θ ∈ (−π , π ) 使得 提示 ： 1+ tanα tanβ 2 2 x = tan θ