春天盛开的紫罗兰现代数学选论.pptVIP

12 春天盛开的紫罗兰――现代数学选论 欧几何、群论和集合论的出现，是19世纪数学的三大革命，在它们的带动下，整个数学改变了面貌。进入20世纪以后，数学进入了现代数学时期，以泛函分析、抽象代数和拓扑学为理论基础的现代数学以前所前所未有的速度迅猛发展，新的学科纷纷建立，犹如春天的紫罗兰，竞相绽放；研究的内容也越来越高度的抽象。这以时期的成果如此之多，文献资料如此之丰富，以致我们很难对这一时期的数学发展作出较为全面系统的介绍。本章仅选择其中一些基础学科的发展作简单的介绍。 12．1泛函分析的诞生 泛函分析发端于19世纪末20世纪初，前期发生的背景是变分法、集合论和积分方程的发展所引起的。 最早研究泛函分析方法的是伏尔泰拉（V.Volterra,1860--1940）。他在变分法研究时提出了一条曲线的函数，就是指一个实值函数F，它的值由定义在某一区间【a，b】上的函数y（x）的全体确定，这些函数本身被看作一个空间的点，而对于该空间，可以定义的临域与点列的极限。 在建立泛函分析抽象理论的过程中，法国数学家弗雷歇（M.Frechet，1878－－1973）在他1906年完成的博士论文中作出了第一个具有重要意义的贡献。他用抽象的形式表达了函数空间。指出：空间中每一点都是函数，函数的极限可以看作是空间中点列的极限，并引入了一类L空间。 数学大师希尔伯特（David Hibert，1862－1943）在研究积分方程时，曾经将一个函数看成时由它相应的标准正交函数系的傅立叶稀疏确定的。 1907年，德国数学家施密特（E.Schimidt，1876－1959）发展了希尔伯特这一思想，将其抽象为一般的L2 空间，这通常称为希尔伯特空间。施密特还据此并导出了正交系的概念。3年后，匈牙利数学家里斯（F.Riesz，1880-1956）则进一步由积分方程导出了Lp空间，开始研究抽象算计理论，并引入了范数的概念。 对泛函分析的发展作出显著贡献的由波兰数学学派。这个学派成立于20世纪20年代，以泛函分析为自己的主要研究方向，领军人物时巴拿赫（Banach,1892－1945）和史坦豪斯（Steinhaus，1887－1972）。巴拿赫范数不再用内积来定义，因而巴拿赫空间比希尔伯特空间更为一般，它包括Lp空间、连续函数空间、有界可测函数空间等。1929年，巴拿赫引进了巴拿赫空间的对偶空间，并与史坦豪斯合作，得到了泛函分析中的一致有界定理，即“巴拿赫－史坦豪斯定理”。 他1932年出版的名著《线性算子理论》，提出了关于函数空间上线性算子的一系列重要定理，成为泛函分析达到成熟阶段的标志。因此，巴拿赫被人们称为“泛函分析之父”。 在泛函分析的发展中最卓越的成就应该是冯－诺伊曼（von Neumann,john,1903-1957）关于希尔伯特空间上对称算子的研究。 冯－诺伊曼于1903年出生于匈牙利的布达佩斯，他是一个数学神童，11岁时已显示出数学天赋。12岁的诺伊曼就对集合论、泛函分析等深奥的数学领域了如指掌。青年时期，冯－诺伊曼师从著名数学家希尔伯特，从此，他更是如鱼得水，在数学的海洋中畅游。在获得数学博士学位后，他移居美国，成为普林斯顿达学的第一批终身教授，那时，他还布到30岁。冯－诺伊曼不仅时一个数学天才，在其他领域也大有建树。他精通七种语言，在化学方面也有相当的造诣，曾获苏黎世高等技术学院化学系大学学位。 更为难得的是，他并布仅仅局限于纯数学上的研究，而是把数学应用到其他学科中去，他对经典力学、量子力学和流体力学的数学基础进行过深入的研究，并获得重大成果，这些都说明诺伊曼具备了坚实的数理基础，和广博的知识，为他后来从事计算机逻辑设计提供了坚强的后盾。 冯－诺伊曼在他分别发表于1929年和1930年的两篇论文中，应用公理化方法深入地研究了希尔伯特空间中的算子，建立了爱而米特算子和酉算子之间的联系。随后，他又把有关结论推广到无界算子，并发现了关于这种算子的谱理论，而这一理论恰好是适用于量子力学的数学工具。 另外，法国数学家施瓦茨(L.Schwartz)、前苏联数学家索伯列夫(C.JI.Cooojieb,1908-1989)和盖尔范德对广义函数即函数空间上连续线性泛函（又称“分布”）作出了巨大的贡献。 泛函分析的出现，不仅推动了分析学的发展，使得该领域的面貌发生了巨大的变化，而且，他的观点和方法还广泛渗透到其他的学科和工程技术领域。 12．2 抽象代数的确立 19世纪初，由于伽罗瓦等人的工作，代数学研究的对象已经突破了传统的数（包括符号表示的数）的范畴。到了19世纪末，德国数学家戴德金