平行四边形、梯形与三角形内一点到各顶点距离和的最小上界.PDFVIP

平行四邊形 、梯形與三角形內一點 到各頂點距離和的最小上界 1 * 2 李政豐 陳昭地 1 國立竹南高級中學 2 國立臺灣師範大學 數學系 壹 、前言 接續前三篇文章 ： 1. 三角形三個極小值的探討 (李政豐 、傅淑婷 、陳昭地(2014)). 2. 三角形的三個最大值定理的迴響 (李政豐 、朱啟台 、陳昭地(2014)). 3. 等腰梯形與平行四邊形的邊上或形內一點到四頂點距離和的最大值 (李政豐 、陳昭地 (2015)). 其中有兩篇文章 「三角形的三個最大值定理的迴響 」，以及 「等腰梯形與平行四邊形 的邊上或形內一點到四頂點距離和的最大值 」，已經證明最大值的存在性 ，這個最大值也 就是本文所討論的最小上界 (least upper bound) 。且在這些圖形中 P 點到各頂點距離和有 最大值時 ，P 點的位置都發生在這些圖形中的某些頂點 。 其中主要用到的手法有兩種 ：平行線法與橢圓法 。其中有用到橢圓上一點到兩焦點 的距離和為定長之性質 ，但是橢圓的性質 ，學生要到高二下才會學到 ，如果我們想要進 一步推廣到不等腰梯形 ，畢竟它與等腰梯形是一線之隔 ，理論上能沿用等腰梯形的方法 加以改進 ,只是繁度較高 。 我們希望能以初等數學的技巧讓國中學生也能了解 。於是再度引用綜合幾何的改進 技術 ，得到平行四邊形 、梯形與任意三角形的情形 ，不需要用到橢圓法 ，也可一併處理 ， 且可用到比前三篇文章更為簡單的初等數學方法 ,證出它的結論 。 這個綜合幾何的技巧 ，用到與橢圓法相似的性質 ，但不需要出現橢圓圖形 ，就可以 利用綜合幾何將它證明出來 ，包含不等腰梯形在內都可以 ，這是撰寫本文的主要目的 。 在本文中 ，我們先證明了四個引理當作工具 ，再證明了三個主要定理 ： (1) 平行四邊形 ABCD ，P 為形內任一點 ，則 P 到四頂點的距離和的最小上界是 :長對角 線加半周長的和 。(如圖 (七 )) *為本文通訊作者 - 40 - 平行四邊形、梯形與三角形內一點到各頂點距離和的最小上界 (2) 梯形 ABCD ，其內部一點 P 到四頂點的距離和的最小上界為 ：（大底邊+長對角線+ 長腰 ）三者的和 。（如圖 (八 )(九 )(十) ） (3) ∆ABC 中 ，P 是三角形內部一點 ，則 P 到三頂點的距離和的最小上界為 ：兩較長邊 之和 。(如圖 (十一 )) 這都是國中學生能看懂的方法 ，也一步一步的逼近了我們想要達成的近程目標 ：鳶 形與任意凸四邊形內部或邊上一點到四頂點距離和的最大值要如何求得 ？要如何證明 ？ 相信這 是很基 本且 老少咸 宜的 有趣情 境 , 中學 生及 許多國 高中數 學老 師都曾 經想 到 過 ,但卻很難下手的問題 。我們經過了一段時間的努力 ，以 Geogebra 為工具 ,探索了各種 不同的四邊形 ，逐步觀察 、實驗 、作圖與計算 ，似乎得到了一點線索 ,也掌握了初步探究 的方向 ,期待在多一些時間的實驗 、證明與整理之後 ，能有一些具體的成果展示 。 我們一直努力的方向就是利用基礎數學的手法 ，以站在國高中學生觀點的角度 ，將 這個網路上似乎還