高等代数--第九章 欧几里得空间.ppt

第九章 欧几里得空间 §1 定义与基本性质 §2 子空间 正交补 §3 正交变换 §4 对称变换 标准正交基 欧式空间同构 定义8:实数域R上欧氏空间V与V′称为同构的,如果由V到V′有一个1-1的映上的映射 ,适合 这里 , 映射 称为V到V′的同构映射. §2 子空间 正交补 定义9: 设 是欧氏空间V中两个子空间. 如果对于任意的 ,恒有 则称 为正交的,记为 一个向量 ,如果对于任意 , 恒有 则称 与子空间 正交,记为 . §3 正交变换 定义11 欧氏空间V的线性变换A 称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于任意的 ,都有 定理8 设A 是欧氏空间V的一个线性变换,于是下面四个命题是相互等价的:  由分解式 可知,V中任一向量 都可以唯一的分解成 其中 . 我们称 为向量 在子空间 上的内射影. BACK 令显然于是 利用矩阵， 还可以写成 其中分别是 的坐标，而矩阵 称为基 的度量矩阵。上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按(9)或(10)来计算，因而度量矩阵完全确定了内积。  设 是空间V的另外一组基，而由 到 的过渡矩阵 为C， 即基 的度量矩阵 这就是说，不同基的度量矩阵是合同的。  根据条件4)，对于非零向量 ，即 有因此，度量矩阵是正定的。 欧几里得空间以下简称为欧氏空间。 BACK 定义6 欧氏空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组。 正交向量组是线性无关的。事实上，设正交向量组 有一线性关系用 与等式两边作内积，即得 由 ，有 ，从而 。这就证明了 是线性无关的。 这个结果说明，在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个。这个事实的几何意义是清楚的。例如，在平面上找不到三个两两垂直的非零向量；在空间中，找不到四个两两垂直的非零向量。 定义7 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基。 设 是一组标准正交基，由定义，有 显然，(1)式完全刻划了标准正交基的性质。换句话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵。在n维欧氏空间中，标准正交基是存在的。 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即事实上，设用 与等式两边作内积，即得 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式。设那么 下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基的求法。 结论 n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。 证明 设 是一正交向量组,我们对n-m作数学归纳法。 当 n-m=0时， 就是一组正交基了。假设n-m=k时定理成立，也就是说，可以找到向量 ，使得 成为一组正交基。 现在来看n-m=k+1的情形。因为mn，所以一定有向量 不能被 线性表出,作向量这里