有限元分析中的退化单元问题有限元分析中的退化单元问题.pdf

维普资讯 华 北 承 剥 承 电 卓 踺 学 报 1993年 3旯 J。Ⅱr叫 0f 4咄 ch Institute fW~terCGn~ cyandBydroelectr~Po 筻 l拥 有限元分析中的退化单元问题 牛焱洲 张水文 Lf J f (土木蕞) [提 要] 表文研究复杂结构应力的有限元分析中用常规等参数单元的退化单元作为网路 疏密过渡 区的过渡元的精度 问题，指 出：双线性插值等参元 (包括平面四结点 口边形等参元和空间^结点六面体等誊元)的退化元当退化结点重复蝙号时具 有r 的奇异性，而 当权作为一个结点时，该奇异性消失。前者可作为分析理想 弹塑性材料断裂问题的奇异元，后者才能作为一般的过渡元，但其求解精度在 从退化顶 点出发的竞经上较常规等参元低一阶 。 [关键词]1 有限元，退化草元，精度 - ‘ — — 一 r — — - ‘ ‘ 一 - — — — ． 、 引 言 目前 ，工程实际问鹿的各种常规线性和非线性有限元分析已得到十分广泛的应甩，各 种通用或专用的有限元程序也不断地涌现 ．但应该洼意到许多程序无专用的过渡单元库供 网络琉密过渡区的过渡之用，而在复杂结构的应力分析中，单元网络密度必然琏应力梯度 的变化和分析者的侧重点不同而有所变化。过渡单元是客观存在的。因此，当无专用的过渡 元供采用时，必须将常规的单元退化 (如将平面四边形单元退化成三角形单元 ，空间六面 体单元退化成三棱柱单元)作为过渡元，此外，即使有些程序配备过渡单元库，许多使用 者由于不了解过渡单元的重要性或者是为了方便仍然采用常规单元的退化元进行过渡，所 以，研究这种退化单元的精度 问题是十分必要的。 本文 以双线性插值等参数单元 (包括平面四边形四结点单元和空问六面体八结点单 元)为例进行了讨论，褥到了许多有益的结论。 l 平面退化单元 平面四边形四结点等参单元的退化元如图l(a) (a)实际草 元 (b)母 单元 国1 * 表 文于l992年 1月收到 维普资讯 。2 华 北 冰 捌 冰 电 学 腕 学 报 1993正 四边形四结点等参元的坐标和位移插值形函数为 (}．)={(1+￡{)(1+ )． =1．2．3，4 (1) 于是 = ∑ t ，一 ∑ (2) 式 中 五，Yi——结点 i的已知坐标。 令 = ．， =Y。，代入式 (2)，有 — 一 [一号而+}(1—)+(1+)](1十}) 一 = [一丢+{(1—)+(1+)弘](1}) (3) 上述变换把z，平面上的三角形变换成 {，平面上的正方形 ，称结点1．4为退化三角形的 退化顶点。 在从退化厦点出发的径向直线 R上的任一点 ．})，从退化顶点到该点的距离为 r =’= ： =(1+ √卜÷+÷(1一，)+(1+，)，]’+卜÷ 令 1+ }为 P．根 号项为F()，郎