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有限元方法中材料非线性计算综述 冯建文 fengjianwen@comac.cc 摘要：有限元方法是固体力学中一种通用的数值方法,基于其方法开发的商用有 限元软件目前在工程中得到了非常广泛的应用。而正确地使用商用有限元软件必 须对非线性计算的基本概念有着清晰的了解。本文结合有限元商业软件ABAQUS® 介绍了有限元计算中处理材料非线性的基本技术，仅供工程技术人员参考。 1. 背景 有限元方法是固体力学中一种通用的数值方法。对于服从胡克定律的线弹性 材料的静力学问题，有限元方法将待求解问题演化为Ku  f ext 的线性方程组形式， ext u 其中 为对称正定的刚度矩阵， 为外荷载节点荷载向量， 为待求节点位移 K f 向量。对于规模较小的线性方程组可以直接采用高斯消去法求解。采用预条件处 理的共轭梯度法 （Preconditioned Conjugate Gradient）等迭代算法可以轻松 地求解自由度为千万级别的大型线性方程组。然而，现实中的很多材料呈现非线 性应力-应变关系：如橡胶是一种超弹性材料；金属塑性成形过程中的金属需要 考虑应力-应变的非线性；除此以外，聚合物等高分子材料还有可能展现出流变 的性质，即塑性变形不仅依赖于受力而且与时间相关；损伤力学中又需要考虑弹 性模量等性质随加载循环变化等。非线性材料的有限元求解要比线性材料的求解 难得多，由于成熟的商用有限元软件包使得工程师可以较方便地模拟材料的非线 性性能。然而，即使使用商用软件，非线性材料的计算需要设置很多材料参数及 加载参数，不合理的参数设计不仅会加大计算负担，甚至有可能导致求解不收敛 或者计算出错误的结果。 正确使用商用有限元软件需要用户对非线性计算的基本概念有明晰的了解。 此外，对于一些新型的航空材料，其性质有可能无法使用有限元软件材料库中现 成的材料模型，甚至需要自定义材料模型。例如有限元商用软件 ABAQUS 中® 1 UMAT\VUMAT 等用户子程序接口。本文结合ABAQUS 简要介绍了有限元处理材料非® [1] [2] 线性问题的基本思路，其相关论述详见Owen 、Zienkiewicz 等人的著作。 与线性问题不同，非线性问题中材料的最终变形与加载路径有关，非线性问 ext 题中荷载 不能一次性全部加载，而是需要采取增量方式，即先给定一个试荷 f 载f ext (1 )，在外荷载为f ext 的情况下计算材料应变，即： f int u  f ext   (1) int u 其中f u 是节点内力向量，为 的非线性函数。   方程(1)解决了以后再改变 ，进行下一个荷载增量步的计算直至全部荷载  被加上。 u 非线性方程组(1)迭代法计算中收敛无法直接根据 的误差判断，因为真解 u int ext int 预先不知道。迭代法通过更改 的值计算f u 进而根据残差r =