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鞍 山 师 范 学 院 学 报 2 0 0 0 20 9 , 2 ( 3 ) : 5 1 - 5 4 J ou r na l of A ns ha n Teachers College 一维谐振子能量本征值在各种表象中的求解 刘晓丽 赵 岩 戴宝印 (鞍山师范学院 物理系 ,辽宁 鞍山 114005) 摘 要 :给出了计算一维谐振子能量本征值的方法 ,它们分别是在坐标表象中求解 ;在动量表象 中求解 ;在能量表象中求解和直接矢量求解. 关键词 :谐振子 ;本征值 ;表象 文章篇号 :100822441 (2000) 0320051204 中图分类号 :O413 . 1 文献标识码 :A 引 言 0 求解一维谐振子能量本征值是量子力学中比较经典的问题 ,通过求解定态薛定谔方程 H^ Ψ = EΨ ( 1) 可得到问题的解. 一般文献中都以在坐标表象中求解为主要方法 ,实际上在各种表象下均可求 解 ,从求解过程中可以看到 ,每种解法都有其特点和对问题理解上的差异 ,因此在不同表象下 求解一维谐振子能量是十分必要的. 一维谐振子的哈氏量可表为 2 [ 1 ] 1 mω x 2 H^ = ^p 2 + ( 2) 2 m 2 此时方程 (1) 的本征值即为一维谐振子的能量 ,下面在不同表象中求解本征值 E . 在坐标表象中求解 1 在 x 表象中 ,薛定谔方程可表为 2 2 2 h d + mω x 2 Ψ ( x ) = EΨ ( x ) - Ψ ( x ) ( 3) 2 m d x 2 2 边条件为 → ∞, Ψ ( x ) →0 ( 4) x 令 E ξ = αx ,α = mω/ h ,λ = ( 5) 1 2 hω 收稿日期 :1999 - 11 - 30 作者简介 :刘晓丽 ( 1962 - ) ,女 ,辽宁鞍山人 ,鞍山师范学院物理系讲师 。 则方程 (3) 变为 d2 2 dξ2 Ψ + (λ - ξ ) Ψ = 0 ( 6) 当 ξ →± ∞时 , Ψ →0 ,因此 (6) 式的一般解为 1 2 Ψ = e - 2ξ u (ξ) ( 7) 将 (7) 式代入 (6) 式得 d2 u d u - 2ξ dξ + (λ - 1) u = 0 ( 8) dξ2 这是一个厄密方程 ,只有当 λ - 1 = 2 n , n = 0 , 1 , 2 时 ,此方程有一个满足边条件的多项式解2 ,将 (9) 式代入 (5) 式得 ( 9) 1 En = ( n + 2 ) hω, n = 0 , 1 , 2 ( 10) 在动量表象中求解 2 [ 3 ] h 5 在 p 表象中 , ^x = - ,所以薛定谔方程可表为 i 5 p 2 h2 2 1 mω d 2 Ψ ( p) Ψ ( p) = EΨ ( p) ( 11) 2 m p - d p2 2 若令 p = mωy , 则 (11) 变为 2 2 2 h d Ψ ( y ) + mω y 2 Ψ ( y ) = EΨ ( y ) ( 12) - 2 m d y 2 2 此方程与方程 (3) 形式完全相同 ,因此可直接得到 1 ( n + 2 ) hω, n = 0 , 1 , 2 ( 13) En = 在能量表象中求解 3 因为 5 f ( x ) 5 f ( p) i i f ( x ) , ^p , = - h [ ^x , f ( p) ] ( 14) = - h 5 x 5 x 所以有 5 H^ 2 ^x = - i ( H^ ^p - ^p H^ ) , 5 H^ = 1 ^p = i ( H^ ^x = mω ^x H^ ) ( 15) - h h 5 ^x 5 ^p m 取上式 H 表象的 i j 矩阵元 ,有 1 i i mω2 x i j = - h ( Ei - Ej ) pi j , h ( Ei - Ej ) x ij ( 16) = pi j m 因此 x i j 和 pi j 有非零解的条件是 ( Ei - Ej ) 2 = ( hω) 2 , Ei - Ej = hω 则有 ( 18) 0 Φε Φ 1 , Ei = ( i + ε) hω, i = 0 , ±1 , ±2 , 由 (18) 式知 ,不为零的矩阵元是 ( 19) p ij pi j (δj , i +1 + δj , i - 1 ) , x ij x i j (δj , i +1 + δj , i - 1 ) ( 20) =