一阶中立型时滞微分方程的振动性_英文_.docxVIP

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2018-04-25 发布于江西
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一阶中立型时滞微分方程的振动性_英文_

OscillatorybehavioroffirstorderneutraldelaydifferentialequationsΞLIXue2mei(DepartmentofMathematicsHunanNormalUniversity,Changsha,Hunan410081,China)Abstract:Inthispaper,thesuffcientconditionsrespectivelyfortheoscillationandnonoscillationoftheneutraldelaydifferentialequation[x(t)+px(t-γ)]′+q(t)x(t-σ)=0,areobtainedwherep0,q(t)isapositiveperiodicfunction.Keywords:oscillation,nonoscillation,neutralequationsArticleID:100825513(2000)0121991MSC:34C10007527934K15DocumentCode:AAneutraldelaydifferentialequation(NDDEforshort)isanequationinwhichthehighestorderderivativeoftheunknownfunctionappearsbothwithandwithoutdelays.InthispaperweconsiderthefollowingfirstorderNDDEwithperiodiccoefficient[x(t)+px(t-γ)]′+q(t)x(t-σ)=0wherep∈R,γ,σ∈(0,∞),q(t)isapositivecontinuousT2periodicfunction.(1)TheoscillatorybehaviorofEq.(1)where-1p0hasbeeninvestigatedbymanyauthors(see1-3).Inothercase,theoscillatorybehaviorofEq.(1)hasscarcelybeenstudied.Ouraiminthispaperistoobtainsufficientconditionsoftheoscillationwhenp0whichareintermofrelationshipofparametersofEq.(1)andcanbeverifiedwhentheparametersaregiven.Asiscustomary,asolutionofEq.(1)iscalledoscillatoryifithasarbitrarilylargezeros.Otherwise,thesolutioniscallednonoscillatory.Inthesequel,forconvenience,whenwewriteaninequalitywithoutspecifyingitsdomainofT1T∫0validitywewillassumethatitholdsforalllarget.Andq0=q(t)dt.1SomeBasicLemmasΞ收稿日期:1999204202.作者简介:李雪梅(19642),女,讲师,研究方向:泛函微分方程.·76·纯粹数学与应用数学第16卷Thefollowinglemmaswillplayanimportantroleintheproofsofthemaintheorems.Lemma14positiveintegersAssumethatq(t)isapositivecontinuousT2periodicfunction,andthereexistn1,n2suchthatγ=n1T,σ=n2T.ThenallsolutionsofEq.(1)areoscillatoryifandonlyifthecharacteristicequationpe-λγ+qe-λσ=0λ(1+(2))0hasnorealroots.Lemma2Assumethatp0,γ0,σ≥0,Q∈C([t0,∞),R+)Supposealsothatx(t)isaneventuallypositivesolutionoftheNDDE.[x(t)+px(t-γ)]′+Q(t)x(t-σ)=0andsetz(t)=x(t)+px(t-γ).ThenQ(t)≥c0.andz′(t)≤0,z(t)0,limz(t)t→∞(3)=0,limx(t)=0.t→∞ProofClearlyz′(t)≤(0,(4)z(t)0weonlyprovethatlimz(t)=0andlimx(t)=0.