一类基于ENO插值的守恒重映算法.docxVIP

[文章编号(2004)0420329206一类基于ENO插值的守恒重映算法王永健1,宁2赵(11南京航空航天大学理学院,江苏南京210016;21南京航空航天大学空气动力学系,江苏南京210016)[摘要]在大变形流体力学问题的数值模拟中,常常会涉及到计算网格的重分.基于不同网格的物理量传递便是所谓的重映技术.基于ENO插值的思想,发展了一类适用于任意网格的ENO守恒重映算法,并给出了数值结果.[关键词]重映技术;任意网格;ENO插值[中图分类号]O24115[文献标识码]A引言流体力学计算方法按其采用Euler坐标系还是Lagrange坐标系可分为Euler方法和Lagrange方法两大类.对于多介质流动,在很多情况下采用Lagrange坐标系是合适的.在大变形问题的数值模拟中,计算网格的变形是不可避免的.因此,重映过程是利用Lagrange方法计算多介质流动问题过程中的一个重要环节.重映过程是指将网格进行重分后利用旧网格上的物理量来插值得到新网格上的物理量的过程.从物理意义上考虑,通常要求重映插值过程应满足守恒性和单调性.重映方法主要可分为两类,一类是连续重映1,另一类是积分重映2～5.积分重映是目前广泛应用的方法,便于实现高精度计算,但在用物理量的分片线性分布代替分片常数分布时,需要保证插值过程不产生新的极值点,这往往会导致在大梯度区域插值的精度降低,从而影响计算结果.ENO(essentiallynon2oscillatory)插值的思想最早是由A.Harten和S.Osher6,7在构造ENO格式时的基础上提出来的.ENO插值通过自适应方式选取插值点,虽不能保证插值的单调性,但却允许出现非常微小的振荡,且具有一致高阶精度的优点.如果将ENO插值思想引入到重映过程,在界面附近选取物理量分布最光滑区域的点来插值,可以保证界面处插值得到理想的精度.本文在研究ENO插值方法的基础上,给出了一种适用于任意网格的守恒重映方法.081守恒重映考虑二维平面上的任意连通区域Ω,把区域Ω做某种剖分Ta,把区域Ω分为Na个子区域Ta={T1,T2,aa,Ta},满足NaNaΩ=∪Ta.(1)ii=1并且,Ta和Ta在i≠j时,只允许有公共的边界.在剖分T上,可以给出一种分片形式的密度分布ijaρa(r)=pa(r),r∈Ta,(2)ii其中的pa是定义在Ta上的函数,一般为多项式,如一阶重映格式用的是常数,二阶重映格式用的是线性ii函数.bbbbb区域Ω还可以做另外一种剖分Tb,Tb={T1,T2,,TN},它同样满足(2)式,并且,Ti和Tj在i≠j时,b只允许有公共的边界.在剖分Tb上,同样可以有密度分布ρ(r).我们说分布ρ(r)和ρ(r)是守恒的,最严bba[收稿日期]2003-04-25;[修回日期]2003-09-05[基金项目]计算物理国防重点实验室武器装备预研(514790301)资助项目.[作者简介]王永健(1979-),男,江苏太仓,硕士生,从事计算流体力学方面的研究,南京航空航天大学298信箱.计算物理第21卷330格的定义应该是,对于任意Ω的子区域D,都有∫D∫Dρa(r)dV=ρb(r)dV,ΠDΩ.(3)bT内质只有这样,才说ρb(r)是ρa(r)的一个守恒重映.在构造守恒重映算法时,总是用如下的式子来说明i量mb,iNa∫bbbbapj(r)dV,(4)i=1,2,,Nb,j=1bbaT∩TTiij其中Vb是Tb的面积,ρb是Tb上密度的平均值.如何求解重叠区域上的pa(r)的积分值,是守恒重映中必须ii解决的问题.iij2ENO守恒重映方法211ENO插值多项式构造插值点的选取是构造插值多项式的一个重要组成部分,插值点的选取方式应尽量少,以减少计算时间,在光滑区域应减少插值的依赖区域,而且插值区域应不包含间断.给定函数v(x)在k+1个点xi,xi+1,,xi+k上的值,则①如果函数v(x)在区间(xi,xi+k)上是光滑的,则v(x)满足(k)v(ξ)ξ∈(xi,xi+k);(5)v[xi,,xi+k]=,k!②如果函数v(x)在区间(xi,xi+k)上出现间断,则有1v[xi,,xi+k]=.(6)OΔxk可见,在光滑区域,差商是有界的,而在含有间断的区域,差商随Δx→0而趋于无穷大,所以可以用差商来测试函数的光滑性.现构造控制体Ω1上的插值多项式,记Ωi(i=1,2,3)上的网格平均值为Ui.设在单元Ωi上,函数f(x,y)的平均值记为[9,10]1Ωi|∫Ω〈f(x,y)〉Ωf(x,y)dxdy,=|ii其中|Ωi|为控制体Ωi的面积.对于线性插值多项式,设为(7)p1(x,y)=q0+qxx+qyy,(8)则此时有〈p1(x,y)〉Ω=U1,1〈p1(x,y)〉Ω=U2,(9)