83曲面及其方程.pptVIP

四、二次曲面 1. 椭圆锥面 2. 椭球面 3. 双曲面 (2) 双叶双曲面 4. 抛物面 内容小结 2. 二次曲面 思考与练习 思考题解答 平面解析几何中 空间解析几何中 斜率为1的直线 方程 * 目录 上页 下页 返回 结束 * 目录 上页 下页 返回 结束 四、二次曲面 第三节 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 曲面及其方程 曲面及其方程 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 曲面的实例： 一、曲面方程的概念 以下给出几例常见的曲面. 解 根据题意有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为 解 根据题意有 所求方程为 根据题意有 化简得所求方程 解 例4 方程 的图形是怎样的？ 根据题意有 图形上不封顶，下封底． 解 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． 二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 旋转曲线和定直线 分别叫旋转曲面的母线和轴． 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 将 代入 得方程 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。 解 圆锥面方程 例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程． 旋转双曲面 旋转双叶双曲面 旋转单叶双曲面 旋转椭球面 旋转抛物面 三、柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在 xOy 面上， 表示圆C, 沿圆周C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面. 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程, 定义 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 柱面举例 抛物柱面 平面 一般地,在三维空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xOz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线 xOy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yOz 面上的曲线 l2. 母线 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形统称为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) 椭圆 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. ① (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到, 见 P28 ) (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 与 的交线为椭圆： (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 同样 的截痕 及 也为椭圆. 当a＝b＝c 时为球面. (3) 截痕: 为正数) (1)单叶双曲面 椭圆. 时, 截痕为 (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴） 平面 上的截痕情况: 双曲线: 虚轴平行于x 轴） 时, 截痕为 时, 截痕为 (实轴平行于z 轴; 相交直线: 双曲线: 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线 单叶双曲面 双叶双曲面 P18 图形 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） ( p , q 同号) 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. 1. 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面: 斜率为1的直线 平面解析几何中 空间解析几何中 方 程 平行于 y 轴的直线 平行于 yOz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面 1. 指出下列方程的图形: 2. P30 题3 , 10