312瞬时速度与导数1.pptVIP

3.1.2瞬时速度与导数 平均变化率的概念： 一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点 则当△x≠0时，商 称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x] (或[x0+△x，x0])的平均变化率。 记△x=x1－x0 =f(x0+△x)－f(x0). 则△y=y1－y0 =f(x1)－f(x0) 1.式子中△x 、△y的值可正、可负，但△x值不能为0， △y 的值可以为0； 2 变式 平均变化率 O x y y=f(x) B A 已知物体运动位移和时间关系为 函数的平均变化率为 引例 即为物体运动的平均速度。 问题情境: 跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度。 (1)计算运动员在2s到2.1s(t∈[2,2.1])内的平均速度。 (2)计算运动员在2s到2+⊿t s(t∈[2,2+⊿t])内的平均速度。 时间区间 △t 平均速度 [2，2.1] 0.1 -13.59 [2,2.01] 0.01 -13.149 [2,2.001] 0.001 -13.1049 [2,2.0001] 0.0001 -13.10049 [2,2.00001] 0.00001 -13.100049 [2,2.000001] 0.000001 -13.1000049 时间区间 △t 平均速度[1.9，2] －0.1 -12.61[1.99,2] －0.01 -13.051[1.999,2] －0.001 -13.0951[1.9999,2] －0.0001 -13.09951[1.99999,2] －0.00001 -13.099951 该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。 设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。 以t0为起始时刻，物体在?t时间内的平均速度为 就是物体在t0时刻的瞬时速度，即 所以当?t?0时，比值 瞬时速度 函数的瞬时变化率： 函数y=f(x)，在x0及其附近有意义，自变量在x=x0附近改变量为△x 平均变化率为 f(x0+△x)－f(x0). 则函数值相应的改变△y= 当△x 0 时， 常数 常数 称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率 上述过程记作 即 如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x，都对应着一个确定的导数 这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作 例1.求y=x2在点x=1处的导数 解： 由定义求导数（三步法） 步骤: 变式1.求y=x2+2在点x=1处的导数 解： （求极限时，若经整理后分母不含 ，则令其为0即可） 练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数 在x=2处的导数. 例1．火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？ 解：火箭的运动方程为h(t)=100t－ gt2， 在t附近的平均变化率为 =100－gt－ g△t。 当△t→0时，上式趋近于100－gt。 可见t时刻的瞬时速度h’(t)=100－gt。 令h’(t)=100－gt=0，解得 所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0. 例3. 求函数y=x2在点x=3处的导数。 解：因为△y=(3+△x)2－32=6△x+(△x)2. 所以 =6+△x， 令△x→0， →6 所以函数y=x2在点x=3处的导数为6. 例4．质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动，若质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值。 解：因为△s=a(t+△t)2+1－(at2+1) =2at△t+a(△t)2， 所以 =2at+a△t， 当△t→0时，s′=2at， 由题意知t=2时，s′=8，即4a=8，解得a=2. 例5．已知y=ax2+bx+c，求y′及y′|x=2。 解：△y=a(x+△x)2+b(x+△x)+c－(ax2+bx+c) =(2ax+b)△x+a(△x)2， =(2ax