第六章用MATLAB求解微分方程及微分方程组.pptVIP

1. 微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’) 运行结果：u = tan(t-c) 用MATLAB求解微分方程 解 输入命令：dsolve(Du=1+u^2,t) 解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x) 运行结果为 : y =3e-2xsin（5x） 解 输入命令 ： [x,y,z]=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z) 运行结果为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 2. 用Matlab求常微分方程的数值解 [t，x]=solver（’f’,ts,x0,options） ode45 ode23 ode113ode15sode23s 由待解方程写成的m-文件名 ts=[t0，tf]，t0、tf为自变量的初值和终值 函数的初值 ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 自变量值 函数值 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差. 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组. 注意: 不同求解器Solver的特点 求解器 Solver ODE类型 特点 说明 ode45 非 刚 性 一步算法；4，5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达(△x)3 大部分场合的首选算法 ode23 非 刚 性 一步算法；2，3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达(△x)3 使用于精度较低的情形 求解器Solver ODE类型 特点 说明 ode113 非刚性 多步法；Adams算法；高低精度均可到10-3～10-6 计算时间比ode45短 ode23t 适度刚性 采用梯形算法 适度刚性情形 ode15s 刚性 多步法；Gear’s反向数值微分；精度中等 若ode45失效时，可尝试使用 不同求解器Solver的特点 求解器Solver ODE类型 特点 说明 ode23s 刚性 一步法；2阶Rosebrock算法；低精度 当精度较低时，计算时间比ode15s短 ode23tb 刚性 梯形算法；低精度 当精度较低时，计算时间比ode15s短 解: 令 y1=x，y2=y1’ 1、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，输入命令： [T,Y]=ode15s(vdp1000,[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),-) 或 [t,x]=ode15s(@(t,x)[x(2);1000*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)],[0,3000],[2;0]);axis axis([0 3000 -3 3]),plot(t,x) 3、结果如图 解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2); 2、取t0=0，tf=12，输入命令： [T,Y]=ode45(rigid,[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+) 3、结果如图 图中，y