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第八讲 孤立奇点及其分类 一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型 四*、函数在无穷远点的性态 一Δ 、函数孤立奇点的概念及其分类 1 可去奇点 2 极点 3 本性奇点 三、用函数的零点判断极点的类型 1、函数的零点 四*、 解析函数在无穷远点的性质 定义 如果函数 在区域 内 解析，则称无穷远点 为 的孤立奇点。 在 内， 的罗伦展开式为 作变换 ，则在 内的解析函数 的罗朗展开式为： 定义 如果 是函数 的可去奇点， 极点或者本性奇点，则 分别称是 的 可去奇点，(m级)极点或者本性奇点. 因此 （1）如果当 时， ,那么称z=∞ 为函数 的可去奇点； （2）如果只有有限（至少有一个）正整数 ， 使得 ，那么称z=∞是函数f(z)的极点。 当z=∞是函数 f(z) 的极点时,设对于正整数m， cm≠0, 且当km时，ck=0，此时称z=∞是函数 f(z)的m级极点。 特别地，当m=1时，称z=∞是函数f(z)的单极点。 定理3 设函数 在区域： 内解 析,那么 是函数 的可去奇点，极点 或者本性奇点的充分必要条件分别为： 存在着有限极限，无穷极限或者不存在任何极限 （包括无穷）。 推论 设函数 在区域： 内解 析,那么 是函数 的可去奇点的充分必要 条件为：存在着某个数 使得 在 内有界。 (1)由于 知 是 的一级零点 . 练习 是五级零点, 是二级零点. 知 是 的一级零点. 解 (2)由于 答案 例1 求以下函数的零点及级数: (1) (2) 的零点及级数 . 求 定理2 其中 ) ( z y 在点 0 z 解析，且 0 z 为 ) ( z f 的 m级零点的充要条件为 另外，我们有 我们下面仅证明其必要性。充分性自己思考。 证明：如果 是函数 的m级零点，则 此处展开式的前m项系数都为零。 若记 则有 其中： 在 处解析，并且 推论1 点 为 的 级极点的充要条件为 是 的 级零点。 推论2 若点 为函数 的 级零点(k=1,2)，则 z0为函数 的 级零点；当 时， z0为函数 的 级极点。 注意： 若函数 在点 解析， ，则当 为函数 的 级零点或 级极点时， 也分 别是函数 的 级零点或 级极点。 推论3(L’Hospital法则) 设函数 不恒为 零，若 为函数 和 的零点(极点)，则当 时，函数 的极限一定存在或为 ， 且有 例2 函数 有些什么奇点, 如果是极点, 指出 它的级. 解 函数的奇点是使 的点, 这些奇点是 孤立奇点. 的一级极点. 即 推论1为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法. 例3 求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级数 （2） 解： 显然 和 是函数 的孤立奇点，分别取 和 则可见z=1和z=-1分别是f2(z)的二级极点和三级极点。 （4） 解： 点 为 的一级零点; 函数 的零点为 ， 且 在这些点处不为零，由定理1，这些点为函数 的一级零点。由定理2的推论2， 为函数 的二级零点，又由推论1及其注意， 它为 的二级极点，而 为 的简单极点。 孤立奇点 可去奇点 m级极点 本性奇点 Laurent级数的特点 存在且为 有限值 无负幂项 含无穷多个负幂项 含有限个负幂项 关于 的最高幂 为 不存在 复习 （3）如果有无穷多个正整数 ，使得 ， 那么称z=∞是函数f(z)的本性奇点。 * 例1 是函数 的孤立奇点. 是函数 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点. 在 定义 如果函数 在 不