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§5.4　平面向量应用举例 第五章　平面向量 数学 A（文） 基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高 练出高分 1.向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔ ⇔ ， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔ ⇔ ， a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量 a＝λb x1y2－x2y1＝0 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝ (θ为向量a，b 的夹角) 长度问题 数量积的定义 |a|＝____＝_______， 其中a＝(x，y) 2.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题. 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质. 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 ，则A，B，C三点共线.(　　) (2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.(　　) (3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算.(　　) √ √ √ 思考辨析 (4)在△ABC中，若 0，则△ABC为钝角三角形.(　　) (5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足： ，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　　) × √ 题号 答案 解析 1 2 3 4 B B 解析 题型一　向量在平面几何中 的应用 思维点拨 解析 思维升华 例1　如图所示，四边 形ABCD是正方形，P 是对角线DB上的一点 (不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF. 思维点拨 思维升华 题型一　向量在平面几何中 的应用 例1　如图所示，四边 形ABCD是正方形，P 是对角线DB上的一点 (不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF. 解析 正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明. 思维升华 题型一　向量在平面几何中 的应用 例1　如图所示，四边 形ABCD是正方形，P 是对角线DB上的一点 (不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF. 思维点拨 解析 思维升华 题型一　向量在平面几何中 的应用 例1　如图所示，四边 形ABCD是正方形，P 是对角线DB上的一点 (不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF. 思维点拨 解析 用向量方法解决平面几何问题可分三步： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 思维升华 题型一　向量在平面几何中 的应用 例1　如图所示，四边 形ABCD是正方形，P 是对角线DB上的一点 (不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF. 思维点拨 解析 (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 思维升华 题型一　向量在平面几何中 的应用 例1　如图所示，四边 形ABCD是正方形，P 是对角线DB上的一点 (不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF. 思维点拨 解析 跟踪训练1　(1)在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则 等于(　　) 解析　建立如图平面直角坐标系， (2)在△ABC所在平面上有一点P，满足 则△PAB与△ABC的面积的比值是(　　) A 题型二　向量在三角函数中的 应用 例2　已知在锐角△ABC中，