第五节正态总体参数的区间估计.ppt

第 203 页10 , 12 * 概率统计 一. 正态总体均值的区间估计 1. 单个正态总体 情形 问题: 设 X1,… Xn 是取自 的样本， 求：参数 的置信度为 的置信区间. (1). 当方差 已知的情形 选 的点估计(无偏估计)为 寻找未知参 数的一个良 好估计 ~ N ( 0, 1 )， 随机变量 而且 是样本的均值与方差， 给定置信度 第五节 正态总体参数的区间估计 U 不依赖于任何未知参数。 现对于给定的置信水平 (大概率)， 根据 U 的分布，确定一个区间，使得U 取值于该区间的概率为 故对于给定的置信水平， 按照标准正态分布的 分位点的定义有： 从中解得： 于是所求 的置信度为 置信区间为 ： 也可简记为： 例1. 某实验室测量铝的比重 16 次，得平均值 ，设总体 （高斯已证明测量误差是服从正态分布） 求: 的 95% 的置信区间. 解: 由已知： 查正态分布表得： 得： 取统计量： 即用 来估计 值的可靠程度达到 95% 的区间范围是 (2.691, 2.719) (2). 方差 未知的情形 用 去代替 得统计量： 它是不依赖于任何 未知参数的. 从而 的 的置信区间为： 未知，但考虑到样本方差是 的无偏估计， 即： 从中解得： 于是所求 的置信度为 置信区间为 ： 例2. 确定某种溶液的化学浓度，现任取4个样品，测得样本均值为 样本标准方差为： 现溶液的化学浓度近似 求: 的置信度为 95% 的置信区间 解: 由已知： 查 t 分布表得： 得： 从而 的 的置信区间为： 取统计量： 服从正态分布 问题: 求:方差 的置信区间. 解: 是不依赖于任何未知参数的。 二. 正态总体方差的区间估计 1. 单个正态总体 的情形 设总体 未知。 本方差，给定置信度 是总体 X 的一个样本， 是样 是 的无偏估计，且统计量： 故对于给定的置信水平，按照 分布的上 分位点的定义有： 从中解得： 于是所求 的置信度为 置信区间为 ： 标准差 的一个置信度为 的置信区间: 于是所求 的置信度为 置信区间为 ： 例3. 分别用金球和铂球测定引力常数(单位: ) 设测定值总体为 均为未知. (1) 用金球测定观察值为: 6.683, 6.681, 6.676, 6.678, 6.679, 6.672 (2) 用铂球测定观察值为: 6.661, 6.661, 6.667, 6.667, 6.667, 6.664 例4. 求 例3 中的 (1), (2)两种情况下， 的置信度为 0.9 的置信区间. 解: 在(1)中 的置信度为0.9的置信区间为: (1) 用金球测定观察值为: 6. 683, 6. 681, 6. 676, 6. 678, 6. 679, 6. 672 取统计量： 在(2)中 的置信度为0.9的置信区间为: (2) 用铂球测定观察值为: 6.661, 6.661, 6.667, 6.667, 6.667, 6.664 取统计量：