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目 录 第一节 蒙特卡罗方法概述 第二节 随机数与伪随机数 第三节 随机变量的抽样 第四节 蒙特卡罗方法的应用实例 §1 蒙特卡罗方法概述---基本思想 基本思想： 　　针对待求问题，根据物理现象本身的统计规律，或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统计量（N→∞）的统计实验方法或计算机随机模拟方法。　 §1 蒙特卡罗方法概述---基本思想 Buffon投针实验(1777年）求π: §1 蒙特卡罗方法概述---基本思想 一些人进行了实验，其结果列于下表 ： §1 蒙特卡罗方法概述---基本思想 1.设r表示射击运动员弹着点到靶心的距离，ｇ(r)表示击中r处相应的 得分数（环数），f(r)为该运动员弹着点的分布密度函数，它们反映运 动员的射击水平。该运动员的射击成绩为： §1 蒙特卡罗方法概述---基本思想 ４.用Ｎ次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望g的估计值。 　收敛性:大数定理 （4）具有同时计算多个方案与多个未知量的能力 （1）收敛速度慢 §2 随机数的产生和检验 §2 随机数的产生和检验 §2 伪随机数的产生和检验---物理方法 §2 伪随机数的产生和检验---数学方法 （1）冯·诺伊曼平方取中法 §2 伪随机数的产生和检验---数学方法 蒙特卡罗方法 计算机模拟 随机性模拟方法 确定性模拟方法 直接蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗积分 Metropolis蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗 通过不断产生随机数序列来模拟过程 通过数值求解一个个粒子的运动方程来模拟整个系统的行为 计算机模拟和蒙特卡罗方法 间接蒙特卡罗模拟 理论依据： 　大数定理：均匀分布的算术平均收敛于真值 　中心极限定理：置信水平下的统计误差 两个例子： 　Buffen投针实验求π 　射击问题（打靶游戏） ３．各向同性随机投针，则夹角α在[０,π]均匀分布，所以： ４．设投针N次，相交次数为M，则相交概率的期望值： N→∞大数定理 ２．针与平行线垂直方向夹角为α，则相交概率为： １．平行线间距＝针长＝s 实验者 年份 投计次数 π的实验值 沃尔弗(Wolf) 1850 5000 3.1596 史密思(Smith) 1855 3204 3.1553 福克斯(Fox) 1894 1120 3.1419 拉查里尼(Lazzarini) 1901 3408 3.1415929 §1 蒙特卡洛方法的基本思想 ２.用概率语言来说，g是随机变量ｇ(r)的数学期望，即 ３.假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射击的弹着点依次为r1，r2，…，rN，则Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值 代表了该运动员的成绩 射击问题（打靶游戏） 例如，设射击运动员的弹着点分布为 0.5 0.3 0.1 0.1 概率 10 9 8 7 环数 用计算机作随机试验（射击）的方法为，选取一个随机数ξ，按右边所列方法判断得到成绩。这样，就进行了一次随机试验（射击），得到了一次成绩ｇ(r)，作Ｎ次试验后，得到该运动员射击成绩的近似值 作为所求解的近似值。由大数定律可知，如果X1，X2，…，XN独 立同分布，且具有有限期望值（E(X)∞），则 即随机变量X的简单子样的算术平均值 ，当子样数Ｎ充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。 由前面介绍可知，蒙特卡罗方法是由随机变量X的简单子样X1，X2，…，XN的算术平均值： §1 蒙特卡洛方法概述---大数定理 f(x)是X的分布密度函数。则当N充分大时，有如下的近似式 蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案。该定理指出，如果随机变量序列X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限非零的方差σ2 ，即 §1 蒙特卡洛方法概述---中心极限定理 其中α称为置信度，1－α称为置信水平。这表明，不等式 近似地以概率1－α成立，且误差收敛速度的阶为：O(N-1/2) 上式中λα与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出λα 。 通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为 给出几个常用的α与λα 的数值： 3 1.96 0.6745 λα 0.003 0.05 0.5 α 两点说明： (1)MC方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。 (2)误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值来代替，在计算所求量的同时，可计算出估计值。 §1 蒙特卡洛方法概述---中心极限定理 （2）减小估计的均方差σ，比如降低一半，那误差就减小一半，这相当于N增大四倍的效果。 减小方差的各种技巧: （1）增大试验次数N。在σ固定的情况下，要把精度提高一个