数值计算方法 第三章 多项式插值与函数逼近5.pptVIP

* 证明参考复旦《数值逼近》 五、最佳一致逼近/*Best Uniform Approximation */ 设给定函数 ，则对 ，存 在一多项式 ，使得 对所有 一致成立。 Bernstein给出了一种构造性证明. Bernstein多项式： 注： ?Bernstein多项式具有良好的一致逼近性质； ?如果要求精度很高， Bernstein多项式次数 会很高，即它的收敛速度很慢； ?Chebyshev方法：在所有次数不超过固定次 数n的多项式中寻找一个最精确地逼近函数 的多项式。 故称之为最佳一致逼近 （最佳一致逼近的定义） 和 的偏差 设函数 ，集合 如果存在 ，满足 其中 则称 为 的n次最佳一致逼近多项式，简称n次最佳逼近多项式。 称为 的n次最佳逼近或最小偏差 几何意义 （Chebyshev交错点组/*Group of Alternating Points */） 假设 ，若存在n个点： 满足 且 则称 为 在 上的Chebyshev 交错点组。 （Chebyshev定理） 设函数 ， 则 是 的最佳一致逼近多项式的充要条件是： 在区间 上存在一个至少有n+2个点 组成的交错点组。 Chebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质 仅证充分性，必要性见文献[21] 证明： 设 在区间 上存在交错点组： 则 如果 不是最佳一致逼近多项式， 则存在 不妨假设 由零点定理 同理可知： 在 点上交错变号 在区间 上至少存在n+1个根 而 （存在唯一性） 设函数 ，则在 中， 有唯一的最佳一致逼近多项式 。 证明： 仅证唯一性，存在性见文献[22] 设在 中存在两个最佳一致逼近多项式： 和 令 也是 的一个最佳一致逼近多项式 由Chebyshev定理 在区间 上存在交错点组： 不妨假设 同理可证 因此，不超过n次的多项式 有n+2个根 时类似可证 唯一 性成立 （最佳一致逼近多项式的一种求法） 设 在 上有n+1阶导数， 在 上不变号， 是 的最佳一致逼近多项式，则： 的端点属于 的交错点组。 证明： 设 或 不属于 的交错点组 反证法 则在 内至少有n+1个交错点组： 满足 反复利用Rolle定理: 矛盾！ 例1：求函数 在 上的一次最佳一致逼近多项式。 解： 设所求的一次最佳一致逼近多项式为： 由Th3.10知， 和 设 的交错点组为： 由交错点组的性质得到 相应的方程组为 解之得 一次最佳一致逼近多项式为： 例2： 解： 最佳一致逼近多项式求解过程总结 设在 中所求的最佳一致逼近多项式为： 的n+2个交错点组为： 则有 当交错点 在区间 内部时满足 求最佳一致逼近多项式最终归结为求解非线性方程组 *