集合论-复旦大学精品课程.PDFVIP

集合论 王智慧 复旦大学计算机学院 1 集合代数 • 集合的基本概念 • 集合的运算 • 有穷集的计数 • 集合恒等式 2 集合的基本概念 集合(Set)是一些个体汇集在一起所组成整体.通 常把整体中的个体称为集合的元素或成员. 例如: 方程x2 - 1 = 0的实数解集合, 1和-1是该集合的元素; 26个英文字母的集合, a, b, …, z是该集合的元素; 坐标平面上所有点的集合; 0, 0, 0, 1, 1, 1是该集合的元素; 常用的集合名称 N: 自然数集合(本课程中认为0也是自然数) Z: 整数集合 Q: 有理数集合 R: 实数集合 C: 复数集合 3 集合的表示法 集合有两种常用的表示方法:列元素法和谓词表示法. 列元素法:列出集合中的所有元素, 各元素之间用逗号隔开, 并把它们用花括号括起来.例如: A = { a, b, c, …, z } Z = { 0, ±1, ±2, … } 谓词表示法: 用谓词来概括集合中元素的属性.例如: B = { x | x ∈R 且 x2 - 1 = 0 } 集合B表示方程x2 - 1 = 0的实数解集. 许多集合可用两种方法来表示, 如: B = { -1, 1 }. 有些集合不能用列元素法表示, 如: 实数集合, 不能列举出所有 集合中的所有元素. 此外, 也有用一个圆来表示, 圆中的点表示集合中的元素.这 样方法称为图示法. 4 集合的元素 集合的元素是彼此不同的. 若同一个元素在集合中多次出现, 则只认为其是 一个元素 如: { 1, 1, 2, 2, 3 } = { 1, 2, 3 } 集合的元素是无序的, 如: { 3, 1, 2 } = { 1, 2, 3 } 本课程规定: 集合的元素都是集合. 5 集合的元素 元素(Element)和集合之间的隶属关系: “属于”或“不属于”. “属于”关系记作∈, “不属于”记作∉. 例如: A = { a, { b, c }, d, { { d } } }. a∈A, { b, c } ∈A, d ∈A, { { d } } ∈A, b ∉A, { d } ∉A. b和{ d }是A元素的元素. 为了体系的严谨性, 规定: 对任何集合A, 都有: A∉A. 6 集合之间的关系 设A和B为集合, 若B 中的每个元素都是A的元素, 则称B是A的子 集合, 简称子集(Subset), 也可称B被A 包含, 或A 包含B, 记作B ⊆A. 如果B不被A 包含, 则记作B ⊆A. 包含的符号化表示为B ⊆A ⇔∀x(x ∈B →x ∈A) 例如: N ⊆Z ⊆Q ⊆R ⊆C. 显然, 对任何集合A, 都有: A ⊆A. 注意: 包含关系表示集合之间的关系; 隶属关系表示元素和集合之间的关系, 但也可表示