分形几何论文.docVIP

前 言 自从1975年B.Mandelbrot提出分形几何这一概念以来，分形几何已经迅速发展成为一门风靡世界的新兴数学分支。并且逐渐成为处理和研究自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具，它在模拟自然景象、图像数据压缩、分形生长、混沌动力系统研究等方面都得到了广泛而卓有成效的应用。应用分形几何学的原理，在计算机上描绘出来的分形图案美妙无比、绚丽多姿而又变幻莫测，不仅令数学家惊奇不已，也使美术家击节赞叹。因此应用分形几何的研究成果于图案设计之中，已成为数学工作者进行研究的一个新领域。传统的图案纹样，例如二方连接纹样与四方连续纹样具有均衡、对称等特点，这些可以在自相似分形与自仿射分形中得到体现。值得关注的是，分形几何还可以彻底改变图案设计用单个纹样的拼接而实现整体设计的定式，创造出完全超出意想的全部由计算机绘制的新型图案，从而使图案设计进入一个用数学指令的新时代。 在分形几何中，许多重要的分形是迭代方法产生的，因而它可以看做一类迭代函数系统的不变集对于复变函数的迭代函数系统，复平面C或扩充复平面C上复变函数的迭代可以生成许多结构复杂的集合，Julia分形就是其中的一个例子。可以证明，复数数列生成的点列，因为复数常量和初值的不同取法，可以有4种动向，即收敛、振动、无秩序和发散，其中振动的场合，还可以根据周期点的数目再细分对于某个常量，使得数列{}不发散的初值的集合称为Julia集合，不发散即意味着必为收敛、振动、无秩序之一。作如下规定：固定某后，定下复数平面上某个区域，对于该区域内的所有点，看看将这些点作为初值的点列的动向，这样，用所赋予的颜色描画点时，有色部分即为Julia集合。fractus”转化而来的，它的原义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体。顾名思义，可以想到“分形几何”是一门描述不规则事物（即所谓的“病态几何”与“怪物曲线”）的规律性的科学。 与传统的几何学相比，分形几何有以下特点： （1）从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。 （2）在不同尺度上，图形的规则性又是相同的，即分形具有自相似性。分形作为一个数学集，它的内部应具有精细结构，也就是在所有比例尺度上其组成部分应包含整体，而且是相似的。对于一些数学模型，如上面提到的康托尔集合、科赫曲线等；这类自相似性是严格的，所以称它们为有规分形。在物理学或其他自然界中存在的分形，它们的自相似是近似的或者是统计意义的，则称之为无规分形。例如常见的树木，它的整体与任意折取的一条树支在形态上是很相似的，差别只在于它们的尺寸不同。 作为一门新兴的学科它引进了一些什么新的观点呢？其中最重要的一点是曼德布罗特认为世界上物体的空间维数（拓扑维数）不一定必须是整数，相反它可以是分数的或者是连续变化的，这个观点突破了长期统治着数学的欧几里德几何的限制。他继承了德国数学家豪斯道夫（Hausdorff）在1919年利用测度理论来定义各种几何体的空间维数的思想，从而给各种不是简单的一维，二维和三维的物体一个确定的“分数维数”；豪斯道夫认为对于一条长度为L的线，若用一根长为r 的“尺”作为单位去测量它，量度的结果是N，就说这条线有N尺长。显然N的数值与所用“尺”的大小有关，它们之间具有下列关系： 同理若测量的是一块面积为A的平面，这时就应用r2的单位小方块去测定它才能给出确定的N值，其A值可表达为： 如果直接用普通的尺，而不是用小方块去测量面积的话，显然是量不出这块面积的大小的。就像问一个人，“你的住房面积有多长？”答案只能是无穷长。这表明对于一个确定维数的几何体，都必须用一种适合于它的“尺”去量度，才能给出正确的数值，否则就会给出牛头不对马嘴的答案。数学家把这个事实归纳为下述结论：对于任意一个确定维数的几何体，若用与它相同维数的“尺”去量度，则可得到一确定数值N，若用低于它维数的“尺”去量它，其结果为无穷大，若用高于它维数的“尺”去量它，其结果为零，这个结论可用数学表示为：豪斯道夫维数，它的数值可以是整数也可以是分数。对于一般的正常物体，“尺”缩小的倍数与量度结果增大的倍数是相同的，因此其豪斯道夫维数是一个整数，其数值与普通的欧几里德维数相等。当被测量物体是复杂的“病态几何”或“怪物曲线”时，豪斯道夫维数是一个分数，通常把豪斯道夫维数是分数的物体称为“分形”，有时也称D为“分数维数”或“分形维数”，在英文中它是用同一名词（Fractal Dimension）来表达的。因此维数不是整数就成了分形的主要特征。 1.2 分形的特点 对于某一集合A，可以将具有下面性质的集合，称为分形集： （1）曼德布罗特曾把满足下式条件： 的集合A，称为分形集，其中Dim(A)为集合A的分维数，dim(A)为其拓扑维数。一般来说，Dim(A)不是整数而是分数；