小学数学解题专题研究14.docVIP

第十四讲 数阵问题 问题58：幻方 一、三阶幻方 例1.把数1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入下面的9个方格里，使每行、每列以及每条对角线上的3个格里的数的和都相等，等于15。 分析与解：把所给的数按从小到的顺序排列成一行，确定出排在中间位置的数（可以叫做中位数）是5，把5首先填在方格的中间。 要使每行、每列以及每条对角线上的3个格里的数的和都相等，我们以5为中心，把其它数等距离分为四组：1和9、2和8、3和7、4和6。那么，1和9就要排在同一行，或同一列，或同一对角线两端的方格里；同样的道理，2和8、3和7、4和6也都要排在同一行，或同一列，或同一对角线的两端的方格里。此时，每行、每列以及每条对角线上的3个格里的数的和都等于15。 由于三个数的和是15，9是最大的数，9不能填在相同的一行里，因此第组数1和9不可能填在对角线两端的方格里。所以，把奇数组，第组数1和9、第组数3和7分别填在中间一列、中间一行。 把偶数组，第组数2和8、第组数4和6分别填在对角线两端的方格里，由于8不可能与9在相同的一行里，所以2要填在与9相同的一行里。再经过试算、调整就可以填写出来。 这时，图（1）的两条对角线、第二行、第二列上的三个数字的和已经都等于15。同时利用行列式的对角线法则，平行于主对角线或次对角线的三个元素：（2，6，7）；（4，8，3）；（2，4，9），（6，8，1）的和都等于15。我们采用下面的“对角线”法则对图（1）的元素作下列调整：（1）将两条对角线上的元素绕中心旋转45度（顺时针或逆时针都可），如图（2）或图（3）所示；（2）对于剩下的元素2、4、6、8，考虑它所在的“主对角线组”和“次对角线组”，例如元素2，它对应的“主对角线组”为（2，6，7），“次对角线组”为（2，4，9），因此“2”的主对角元为7，次对角元为9，这样2在图（2）或图（3）中的位置应该在十字架的“7”与“9”的交叉处；同理，4应该在“3”与“9”的交叉处；6应该在“7”与“1”的交叉处；8应该在“3”与“1”的交叉处。这样填好之后，得到图（4）或图(5)。 这两个图已经符合题目的要求。 上面的这道题是有趣的数字排列图，叫做幻方（古人把它叫做九宫图）。是我国祖先早在几千年以前就已经发现了的。我国古代有“河图”和“洛书”的传说：在原始部落伏羲时代，有龙马出于黄河背负“河图”，有神龟出于洛水背负“洛书”。而这种“河图”和“洛书”的形象最早是宋人根据郑玄的《乾凿度》中的“载九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”造出来的。如下图所示，我们填写的方阵图正好与这种“河图”、“洛书”的形象完全一致。“洛书”作为数字方阵，也就是我们所说的三阶幻方。直到现在，仍然是许多数学家和数学爱好者感兴趣的问题。 其实，在三阶方阵里填写的数不一定是从1开始的自然数，可以从任何一个数开始，这一列数可以是任何一个等差数列。 （2）对剩余的元素，写出它相应的“主对角线组”和“次对角线组”：例如元素2，它的“主对角线组”和“次对角线组”分别是（2，8，14，20，21），（2，6，23，19，15），这样2在图（7）或图（8）中应该在对角元21和19的交叉处；同时，在图（6）中关于中心对称的两个元素在调整后的图（7）或图（8）中的位置也应该是关于中心对称的，这样24在图（7）或图（8）中的位置就应该在7和5的交叉处；如此下去……，就得到下面的图（9）或图（10）： 这种手段可以用到一般的奇数阶幻方的制作上。 对于奇数阶幻方，有人发现了下面的制作方法： 对于1、2、3、……、n2，先将1置于顶行正中，按照从小到大的顺序向右上方的临近方格填写，遇到右上方“出格”（没有方格）的情形，按照下面三个原则处理：（1）要填的数超出上方边界，则填到“出格”的这一列的最下面；（2）要填的数超出上右边界，则填到“出格”的这一行的最左边；（3）要填数的位置上已经有别的数，或者超出右上角，则填在前一数的紧邻下方。图（11）就是按照这种规则得到的5阶幻方。 三、四阶幻方 对于偶数阶幻方，就不存在上面的“对角线法”，这是因为偶数阶幻方没有中心元，虽然两条对角线的元素之和相等（等于[（1＋16）×16]÷（2×4）=34），但旋转45度后形成不了十字架，因此“对角线法”就不存在。 这里只介绍前人研究得到四阶幻方的两种制作方法： 我们先将这16个数按自然顺序排成一个正方形（图（12）所示），它的两条对角线上的数字之和已经等于34，将每条对角线上的元素都进行中心对称交换，这样得到的图（13）已经符合要求。另一种是四周不位于角上八个元素做正方形的中心对称交换，得到符合要求的图（14）。 四、幻方欣赏 1、母子幻方 这个幻方由9个小幻方组成，整体本身也是一个9阶幻方。 2、欧拉象棋马周游世界幻方 这个幻方是伦