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矩 阵 论教材：矩阵论简明教程（第二版）徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著 科学出版社  第二章 矩阵的相似变换 §2.1 矩阵的特征值与特征向量 §2.2 矩阵的相似对角化 §2.3 矩阵的Jordan标准形 §2.4 Hamilton-Cayley 定理 §2.5 矩阵的酉相似 §2.5 矩阵的酉相似 1、 向量的内积 定义1 定理1 2、 向量的长度 定义2 向量的长度具有如下性质： 定理2 3、 Cauchy-Schwarz不等式 定理3（ Cauchy-Schwarz不等式） 证 1、 定义 定义3 定理4 证 定义4 三、 相似变换矩阵的求法与Jordan标准形的幂 1、相似变换矩阵的求法 例4 解 Remark 2、Jordan标准形的幂 定理4 Remark 例5 解 第二章 矩阵的相似变换 §2.1 矩阵的特征值与特征向量 §2.2 矩阵的相似对角化 §2.3 矩阵的Jordan标准形 §2.4 Hamilton-Cayley 定理 §2.5 矩阵的酉相似 一、 Hamilton-Cayley 定理 1、定理 定理1（Hamilton-Cayley 定理） §2.4 Hamilton-Cayley 定理 证明 1、利用定理1可以简化矩阵运算 例1 解 二、 Hamilton-Cayley定理的应用 2、可逆矩阵逆的多项式表示 三、 零化多项式与最小多项式 1、零化多项式 定义1 Notations 2、最小多项式 定义2 定理2 证略 3、零化多项式与最小多项式的关系 定理3 证 定理4 证略 例2 解 定理2 Proof of（2） 二、相似对角化 1、定义 定义2 2、相似对角化的条件 定理3 Proof 推论1 推论2 Example 2 Solution Example 3 Solution 第二章 矩阵的相似变换 §2.1 矩阵的特征值与特征向量 §2.2 矩阵的相似对角化 §2.3 矩阵的Jordan标准形 §2.4 Hamilton-Cayley 定理 §2.5 矩阵的酉相似 一、 Jordan标准形 1、定义 定义1 §2.3 矩阵的Jordan标准形 Remark 2、矩阵的Jordan分解定理 定理1 二、 Jordan标准形的求法 1、初等变换法 定义2 定理2 Reamrk 定义3 由初等变换求矩阵 A 的Jordan标准形方法： 例1 解 2、行列式因子法 定义3 定理3 由行列式因子求矩阵 A 的Jordan标准形方法： 例2 解 例3 解 推论1 §1.4 特殊矩阵 一、 几类基本的特殊矩阵 1、零矩阵，单位矩阵 2、对角矩阵 3、三角矩阵 二、 正规矩阵 定义1 以下矩阵都是正规矩阵： 定义2 三、初等矩阵 1、定义 有以下三类初等矩阵： 定义3 Row i Row j 2、三种初等矩阵的统一表示 Remark 四、其他特殊矩阵 第1章 矩阵的相似变换 §2.1 矩阵的特征值与特征向量 §2.2 矩阵的相似对角化 §2.3 矩阵的Jordan标准形 §2.4 Hamilton-Cayley 定理 §2.5 矩阵的酉相似 一、特征值与特征向量 1、定义 §2.1 矩阵的特征值与特征向量 定义1 2、特征多项式 定义2 Remarks 3、特征值与特征向量的求法 例1 解 二、特征值与特征向量的性质 定义3 定理1 定理2 定义4 定理3 定理4 Remarks §2.2 矩阵的相似对角化 一、矩阵的相似 1、定义 定义1 2、性质 定理1 第一章 矩阵的基础知识 §1.1 矩阵的运算 §1.2 方阵的行列式 §1.3 矩阵的秩 §1.4 特殊矩阵类 §1.1 矩阵的运算 一、 矩阵的概念 1、数集 R—实数集，C—复数集 2、矩阵的记号 Notations 二、 矩阵的运算 1、加法，减法 2、数乘 3、乘法 4、转置与共轭转置 三、 矩阵的块运算 1、加法，减法 2、数乘 3、乘法 4、转置与共轭转置 §1.2 方阵的行列式 一、行列式的定义与性质 二、块矩阵的行列式 即某行左乘一个矩阵加到另一行，值不变；某列右乘一个矩阵加到另一列，值不变。 Example 1 证： Example 2 证： Example 3 证： 三、Vandermond 行列式 第一章 矩阵的基础知识 §1.1 矩阵的运算 §1.2 方阵的行列式 §1.3 矩阵的秩 §1.4 特殊矩阵类 一、 矩阵秩的定义及基本性质 1、秩的定义 §1.3 矩阵的秩 2、基本性质 （1）初等变换不改变矩阵秩； 二、 矩阵秩等式 三、 矩阵秩不等式 定理1