输运中的量子干涉效应和Landauer-Büttiker公式.docVIP

第三章 输运中的量子干涉效应和Landauer-Büttiker公式 3.1 电导和透射率 与通常的宏观系统不同，介观系统的输运表现出很多新奇的特性，如串联系统的电阻和并联系统的电导是不可加的，电阻表现出非局域性，每个系统所特有的（sample-specific）非周期振荡的磁阻和普适电导涨落等。介观系统的所有这些特性都是由电子的量子相干所产生的。在固体理论中，通常利用Kubo线性响应理论研究系统的输运性质。如前所述，原则上它只适用于终态具有连续能谱的系统。对于实际的介观系统，由于环境的影响而使它的分立能级展宽成一个具有有效连续能谱的系统，Kubo线性响应理论还是成立的，但处理介观系统显得不是很方便，特别是一些弹道输运的介观系统。基于散射矩阵来表示系统的电导的Landauer-Büttiker公式，不但特别适合研究两端或多端介观系统的电导，更重要的是给出一个直观的物理图像。 1957年，Landauer首先建立了一维导线的电导与在费米能级的透射和反射几率（transmission and reflection probabilities）的关系 (3.1) 这里因子2来源于电子的自旋自由度，h=2π?，T是电子的透射几率，R=1-T是反射几率。这个表示式称为Landauer公式。对于电子的弹道输运T=1，系统的电导是无穷大，即电阻为零。很显然，Landauer公式给出的是金属导线的电导。另外一种电导与透射几率的关系式 (3.2) 通常称为Büttiker公式。这两个表达式合称为Landauer-Büttiker公式。很显然，这两个公式表示不同的物理含义，后者包含了导线与电极（或电子库）的接触电导。接触电导起源于具有大量通道的电子库向单通道或较少通道边界的几何过渡，如电子库的大量通道向理想导线的单通道的过渡，它完全由连接的几何形状来决定，而与所测量的导线的电导无关。接触电阻是普适的，对于每一个通道其接触电阻都相同，等于。对于弹道输运，Büttiker公式给出的电导不为零，而是接触电导，因此Büttiker公式所给出的电导是电子库两端的电导，实验上所测量的电导一般是Büttiker公式所给出的电导。根据介观系统的电导与透射率的这个简单的关系，只要计算出电子在费米能级附近的透射率就可以得到系统的电导，这比用Kubo公式要简单的多。现在我们给出Landauer-Büttiker公式的简单推导，由此建立它的一个直观的物理图像。 考虑一个两端通过理想导线连接到化学势分别为和的理想电子库（电极）的导线（导线用一个势垒来表示），如图3.1所示。 理想电子库满足如下条件： 所有进入电子库的电子不管其能量和位相如何都被完全吸收。即电子从理想导线到电子库的透射几率是1，但是电子从电子库到理想导线的透射率要小于1。这反映接触电阻的存在。 它持续地提供能量低于化学势的电子，并且这些电子的能量和位相均与所吸收的电子的能量和位相无关。 假定导线是单通道的，并用T(E) 和R(E) 分别表示电子在导线中的透射和反射几率，电子数守恒表示等式R(E)+T(E)=1成立。用v表示在电子库中的电子的速度，而用n(E)表示电子的态密度，在绝对零度，电子通过导线的电流为 (3.3) 这里我们取电子从导线的左边到右边和从右边到左边的透射率是相同的，因为在平衡态，通过导线的净电流为零。根据上式，通过导线的净电流为 (3.4) 这里我们假定电子的透射率在费米能级附近是常数，对于自由电子n(E)=1/π?v。外电压加在两端的电子库，因此两个电子库之间的化学势之差与电压的关系为，带入上式得到Büttiker公式（3.2）。这清楚地表明Büttiker公式所给出的电导是电子库（电极）间的电导。 现在我们求导线的电导。为简单起见，我们把导线看成一个势垒，如上图所示。由于电子从电子库到理想导线的透射率小于1，因此虽然处在平衡态的理想导线和电子库的化学势是相同的，但在施加一个恒定电压后，理想导线的有效化学势与相连的电子库的化学势不再相等，其左右两边的化学势分别记为和。在稳定态，化学势和之上的电子所占据的态（电子数）与它之下的未被占据态数（空穴数）应该相等，以此我们来确定化学势和与和的关系。首先我们考虑势垒右边。之上所占据的电子数为，而之下的空穴数为，这里因子2来源于电子可以左右运动，T项来自于左边电子的透射。对于势垒左边，在之上所占据的电子数为，而在之下的空穴数为，由此得到下面的关系式 (3.5) 由上式我们得到理想导线的化学势与电子库的化学势之间的关系式