南京信息工程大学2014级理工科期中试卷答案.docVIP

2014-2015学年南京信息工程大学第一学期 《高等数学》（1）理工科期中试卷参考答案 一、填空题（每题3分，共15分） 1．若成立的取值范围为 ． 2．如果极限存在，则 ． 的带有拉格朗日余项的阶麦克劳林公式为 ． 曲线的拐点是 设，则 ． 若，以为可去间断点，则（ C ） A、B、 C、D、 设，其中为常数，则下列命题中正确(　D ) A、在点处不连续　　B、不存在 C、在点处不可导　　 D、在点处连续且可导 设由方程确定，则曲线在点处的切线方程为( A ) A、 B、 C、 D、 曲线()( A ) A、始终是凹的 B、 始终是凸的C、有一个拐点 D、 有二个拐点 设有二阶连续导数，且 ，则( B ) A、是极大值 B是极小值 C 是曲线 的拐点 D不是的极值，也不是曲线的拐点 . 解： 3分 ． 6分 2．设．求． 解： 3分 6分 3．设函数可微，的微分：由方程确定，求 解： 3分 6分 5．设曲线在原点处与相切, , 为常数, 且, 试求极限． 解：由题设, ， 于是 　　　 ３分 　　 6分 四、（本题8分）讨论函数在的连续性与可导性，若可导，求出． 解： 所以在连续. 4分 ， 所以在处可导，且． 8分 五、（本题8分）已知函数，求函数的单调区间及极值． 解： 函数在上有定义． ２分 所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，． 6分 极大值为 极小值为 　　　　 8分 六、（本题8分）设数列中，，，证明存在，并求． 证明： 由数学归纳法证明得 ， ， 所以数列单调增加且有上界，所以存在， 　 　 4分 设，则，解得（负数舍去）， 即　． 　　　　　 8分 七、（本题8分）已知在内可导， ，且，求C的值解：， 4分 由定理，有，（）， 6分 则，于是，， 8分 ，其中在上连续导数，在内二阶可导，且，试证：存在，使． 证明：因为函数在上连续，在内二阶可导，并满足，所以在内至少存在一点，使得. 4分 又 得 再在上利用罗尔定理，存在，使得 8分 1