《矩阵论及其应用》课后答案(大合集).pdf

习题一 1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： （1）设 是 阶实数矩阵. 的实系数多项式 的全体，对于矩阵的加法 A A A A A A AA n AA f(AA) 和数乘； （2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的 乘法； （3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法 和数乘�运算： ⊕ k(k−1) 2 (a, b) ⊕ (c, d) = (a+c, b+d+ac), k�(a,b) = (ka, kb+ a ) 2 + （4）设 是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算： R a⊕b=ab,k�a=ak + 其中a,b∈R ,k∈R； （5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数 乘； （6）设V= x x=c sint+c sin 2t+⋯+c sinkt,c ∈R, 0≤t≤ 2π ， 中 { 1 2 k i } V 元素对于通常的加法与数乘，并证明：{sin t, sin 2t,⋯, sinkt}是V的一个基，试 确定 的方法. c i 解 （1）是. 令 A A .由矩阵的加法和数乘运 A A V ={f( AA) f(x)是实系数多项式，AA为n×n矩阵} 1 算知, A A A A A A A A A A f( AA) + g( AA) = h( AA), kf( AA) = d( AA), 其中 为实数， 是实系数多项式. 中含有 的零多项式，为 的 A A k f(x),h(x),d(x) V AA V 1 1 A A 零元素. f( AA) 有负元 A .由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故 关 A − f( AA) ∈V V 1