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V、课程同步练习 第6章 多元函数微分学，则= 解： 2. 设，且已知y=1时，z=x,则,. 解：由y=1时，z=x，得 令，. 3.设，且当时，，求。 解：将代入原式得： ，故 二、选择题 1．函数的定义域为（B ）． （A） （B） （B） （D） 2．函数 的定义域是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 解:由函数的表达式知函数的定义域为 即 ，故应选（C）。 3．设 （A） （B） （C） （D） 解：由题设,故应选（A）。 三、求解下列各题 1. 下列各函数表达式: (1) 已知f(x,y)=x2+y2,求； (2) 已知求f(x,y). 解：（1） （2） 所以 2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) ； (2) ; (3) ； (4) 解：（1）由可得 故所求定义域为D={(x,y)| }表示xOy平面上不包含圆周的区域。 （2）由 可得 故所求的定义域为D={(x,y)| }，表示两条带形闭域。 （3）由 可得 故所求的定义域为D={(x,y)| }，表示xOy平面上直线y=x以下且横坐标的部分。 （4）由 可得 故所求的定义域为D={(x,y)| }。 6.1.2 二元函数的极限及连续性 一、填空题 1．二元函数的极限=___2__ 解： 2．二元函数的极限= 1 解： 3．=___0__ 解： 原式， ， 二、选择题 1．下列极限存在的是（ ） （A）；（B）；（C） ；（D）. 解：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。选（D） 2．已知 ，则f(x,y)在(0,0)处（　　　　） （A）极限存在；（B）连续；（C）不连续；（D）无法判断 解： 该极限随着k的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续. 选（C） 3． 为（　　　　　） （A）极限不存在；（B）0；（C）无穷大；（D）无法判断 解：当点P(x,y)沿曲线趋于点(0,0)时，有 。 显然，此时的极限值随k的变化而变化。 因此，函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。选（A） 三、求解下列各题 1. 计算下列极限： (1) ；　　　　（2）； （3）；（4） 解：（1） （2） 解：方法一： （应用二重极限定义，语言） 当时 恒有 方法二： （夹逼定理） ，又 方法三： （极坐标代换） 令 ，则当 时， （3） 知识点：二重极限。 思路：先作变量替换，然后对未定型应用洛必达法则及等价无穷小量替换。 解： 令，则 时，， 原式。 （4） 解： 2.证明下列极限不存在 （1）；　　　　（2）； 知识点：二重极限。 思路：若沿不同曲线趋于时，极限值不同，则二重极限不存在。 （1） 证：方法一： 现考虑 ， 若沿轴趋于，则 上式，从而 若沿曲线趋于，则， 从而 故原式极限不存在。 方法二： 若取，则 若取，则 故原式极限不存在。 （2） 解： 若沿轴趋于，则 上式 若沿曲线趋于，则上式 故原式极限不存在。 注：若沿曲线趋于，则 从而 。 3.研究下列函数的连续性 （1）;（2） 解：（1）; 当时函数无定义，故函数的间断点集为 （2） 解： 函数间断点为 ， 由 又 故由夹逼定理 ，故为可去间断点。 6.1.3 偏导数 一、填空题 1. 设z=e－x+f(x－2y)，且已知y=0时，z=x2,则 . 解：令 所以 2. 设，则 1 , 0 . 解： 3. 设,则 . 解：， 所以 二、选择题 1.设 在点 处偏导数存在，则 （A） （B） （C） （D） 解：根据偏导数的定义，有 故应选（C）。 2.偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的( 　 ) (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)即非充分也非必要条件 解：解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC三项不一定正确. 选（D）. 3.设 其中f为可微函数，则 (A) 　(