MATLAB在数字信号处理中的应用：连续信号的采样与重建.docVIP

MATLAB在数字信号处理中的应用：连续信号的采样与重建 设计目的和意义 随着通信技术的迅速发展以及计算机的广泛应用，利用数字系统处理模拟信号的情况变得更加普遍。数字电子计算机所处理和传送的都是不连续的数字信号，而实际中遇到的大都是连续变化的模拟量，现代应用中经常要求对模拟信号采样，将其转换为数字信号，然后对其进行计算处理，最好在重建为模拟信号。 采样在连续时间信号与离散时间信号之间其桥梁作用，是模拟信号数字化的第一个步骤，研究的重点是确定合适的采样频率，使得既要能够从采样信号（采样序列）中五失真地恢复原模拟信号，同时由要尽量降低采样频率，减少编码数据速率，有利于数据的存储、处理和传输。 本次设计中，通过使用用MATLAB对信号f（t）=A1sin(2πft)+A2sin(4πft)+A3sin(5πft)在300Hz的频率点上进行采样，并进行仿真，进一步了解MATLAB在数字信号处理上的应用，更加深入的了解MATLAB的功能。 设计原理 时域抽样定理 令连续信号 xa(t)的傅立叶变换为Xa（jΩ），抽样脉冲序列p(t)傅立叶变换为P（jΩ），抽样后的信号x^(t)的傅立叶变换为X^(jΩ)若采用均匀抽样，抽样周期Ts，抽样频率为Ωs= 2πfs，有前面分析可知：抽样过程可以通过抽样脉冲序列p（t）与连续信号xa（t）相乘来完成，即满足：x^(t)p(t),又周期信号f（t）傅立叶变换为： F[f(t)]= 故可以推得p(t)的傅立叶变换为： P（jΩ）= 其中： 根据卷积定理可知： X（jΩ）=Xa（jΩ）*P(jΩ) 得到抽样信号x（t）的傅立叶变换为： X（jΩ）= 其表明：信号在时域被抽样后，他的频率X（jΩ）是连续信号频率X（jΩ）的形状以抽样频率Ωs为间隔周期重复而得到，在重复过程中幅度被p（t）的傅立叶级数Pn加权。因为只是n的函数，所以X（jΩ）在重复过程中不会使其形状发生变化。 假定信号x（t）的频谱限制在-Ωm~+Ωm的范围内，若以间隔Ts对xa（t）进行抽样信号X^（jΩ）是以Ωs为周期重复。显然，若早抽样过程中ΩsΩm，则 X^ (jΩ)将会发生频谱混叠的现象，只有在抽样的过程中满足Ωs2Ωm条件，X^(jΩ)才不会产生混频的混叠，在接收端完全可以有x^（t）恢复原连续信号xa（t），这就是低通信号的抽样定理的核心内容。 信号的重建 从频域看，设信号最高频率不超过折叠频率： X（jΩ）=Xa(jΩ) Ωs/2 Xa(jΩ)=0 Ωs/2 则理想取样后的频谱就不会产生混叠，故有： X（jΩ）= X（jΩ）= 让取样信号x^（t）通过这一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器： H(jΩ)=T Ωs/2 H(jΩ)=0 Ωs/2 滤波器只允许通过基带频谱，即原信号频谱，故： Y(jΩ)=X^(jΩ)H(jΩ)=Xa(jΩ) 因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号； y(t)=xa(t) 从时域上看，上述理想低通滤波器的脉冲响应为： 根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为： y（t）= 有上式显然可得： （t-nT）= sin(π/T)(t-nT)/( π/T)(t-nT) 则： 上式表明只要满足取样频率高于两倍最高频率，连续时间函数xa（t）就可用他的取样值xa（nT）来表达而不损失任何信息，这时只要把每个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa（t），在每一取样点上，由于只要该取样值所对应的内插函数式不为零，所以各个取样点上的信号值不变。 1、用300Hz对信号进行采样 源信号为f（t）=5*sin(2*pi*40*t1)+1.8*sin(4*pi*40*t1)+0.8*sin(5*pi*40*t1)，用300Hz的频率对f（t）进行采样，其采样图如图1所示,程序如下 fs1=300 t1=-0.1:1/fs1:0.1 fa=5*sin(2*pi*40*t1)+1.8*sin(4*pi*40*t1)+0.8*sin(5*pi*40*t1) figure(1);plot(t1,fa),xlabel(fs1=300Hz时,fa采样时域图) 图1 300Hz采样频率对信号的采样图 2、对信号进行快速离散傅立叶变换 将采样信号进行快速离散傅立叶变换（FFT），用300Hz的频率对f（t）进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图如图4所示，程序如下： f=40;fs=300 N=300;k=0:N-1 t=-0.1:1/fs:0.1 w1=300*k/N fa=5*sin(2*pi*f*t)+1.8*sin(4*pi*f*t)+0.8*sin(5*pi*f*t) xfa=fft(fa,N);xf1=(xfa); figure(1