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数的开方 【教学内容】 第十六章 数的开方 16.1 平方根 16.2 立方根 【知识点精析】 一、平方根 1．平方根 如果一个数的平方等于a，a的平方根，即如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作x=，其中a叫被开方数。 2．平方根的性质 （1）任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的平方根是，其中与－恰是一对相反数； （2）零的平方根是零，即； （3）负数没有平方根。 3．算术平方根 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 4．开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 5．求一个正数的平方根的基本方法和基本步骤 （1）明确（或易求出）所要求的正数是哪一个数的平方的。 ①先写出是哪个数的平方等于已知的数； ②再求出这个正数的算术平方根； ③最后求出这个正数的平方根。 （2）不易求出所要求的正数是哪个数的平方的。 方法1：利用数学用表的平方根表查。 方法2：利用计算器计算。 6．注意的问题 （1）负数没有平方根； （2）的非负性，即当a≥0时，≥0，非负数的算术平方根一定是非负数； （3）用计算器求一个正数的平方根应注意精确度，或根据精确度取近似数。 二、立方根 1．立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作：x=，a叫做被开方数，3叫做根指数。 2．立方根的性质 任何一个正数的立方根是一个正数，即a0时，0； 任何一个负数的立方根是一个负数，即a0时，0； 零的立方根仍是零，即a=0时，=0。 3．开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。 4．求一个数的立方根的基本方法和基本步聚 （1）明确（或易求出）所要求的数是哪一个数的立方的； ①先指出所要求立方根的那个数是哪个数的立方； ②根据立方根的定义，求出这个数的立方根。 （2）不易求出所要求的那个数是哪个数的立方的： ①利用数学用表中的立方根表查； ②利用计算器计算。 5．注意的问题 （1）立方根不同于平方根的负数没有平方根，负数同正数一样都有一个立方根。 （2）立方根的被开方数中的负号可以直接从根号内移至根号外，即=－。因此，求负数的立方根，可以转化为求其相反数的立方根。 （3）注意的值的性质应根据a的正、负性确定。即a0时，0；a=0时，=0；a00。 （4）用计算器求立方根时，应注意精确度，或根据精确度取近似数。 【典型例题】 例1．将下列各数开平方 （1）49 （2） （3）0.0169 分析 开平方的实质就是求一个数的平方根，而求平方根的关键是求出这个数的算术平方根。 解（1）因为72=49，所以，因此49的平方根为±7，即。 （2）因为，所以，因此的平方根为±，即。 （3）因为（0.13）20.0169，所以，因此0.0169的平方根为±0.13，即± 例2．下列五个命题：①只有正数才有平方根；②－2是4的平方根；③5的平方根是；④都是3的平方根；⑤（－2）2的平方根是－2。上述命题中正确的命题是（ ） A．①②③　　　　　B．③④⑤　　　　　C．③④　　　D．②④ 分析 显然①是错的，因为“0”的平方根还是“0”；②是正确的；③是错的，因为5的平方根是±；④是对的；⑤也是错的，因为（2）24，41）343 （2）0.064 （3） 分析 求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。 解（1）因为73=343，所以。 （2）因为（0.4）3=0.064，所以. 或 因为0.43=0.064，=－0.4. （3）因为，所以， 或因为. 例4．求下列各式中x的值： （1）25x2－49=0； （2）（x1）25=0 （3） （4x3）3=0.343 （4）x337= 分析 通过移项并把x的系数化为1，以上各式可以化为x2=a或x3=a的形式，再利用平方根、立方根的定义求出x的值。 解（1）25x2－49=0 （2）（x1）25=0 25x2=49 （x1）2=5 x2= x1= x= x=1 x= （3） （4x3）3=0.343 （4）x337= 4x－3=0.7 x3=37+ 4x=3.7