数学建模必看--随机模拟与系统仿真.docVIP

§3.5 随机模拟与系统仿真 一. 随机现象的模拟 例： 超市出口有若干个收款台，两项服务：收款、装袋。顾客的到达的时间间隔是随机的；因顾客购买的货物量不同，所以服务时间的长短是随机的。 模拟这些随机现象，即利用计算机产生一系列数，每重复这一过程，产生的数列都不同，但是数列的构成服从一定的规律（概率分布），称这些数为随机数。 1. 随机变量及其分布 随机事件：在一定条件下有可能发生的事件， 其全体记为( 。 概率：随机事件A ( (发生的可能性的度量 P(A)， 0 (P(A) ( 1. 定义: 在(的(-集合类F上的实值函数，P: ( ( P((), ( ( F , 满足： 1. 非负性：P(()(0, 2. 规范性：P(()=1, 3. 可列可加性：对 ( =UAi ((, {Ai }是两两不相容的事件，则 P(()= (P(Ai) ， 称P为F上的概率测度. 随机变量： 称在(上定义的实值函数 ( ：A ( ( (A) 为随机变量。 离散型： ( ({ak ；k=1,2,…(,n)}, 连续型： ( ((a, b) . 随机变量的分布函数：F(x):=P(( x):=P((-1 (- (, x)), 其中 (-1 (-(,x)={A ( (; - ( ( (A)x} ( F 离散型 若 则称 ak a1 a2 … an P((=ak) p1 p2 … pn 为离散随机变量 ( 的分布列, 称函数 F(x)=P(( x)= (akx pk为随机变量 ( 的分布函数。 连续型 若 则称 函数p(x) 为随机变量 ( 的分布密度, 称F(x)= P((((-(, x))为随机变量 ( 的分布函数 几类常见的随机分布 两点分布 只有两种可能结果(成功、失败)的实验称为贝努里试验。试验成功的概率为p 二项分布 n重贝努里试验成功的次数( 。 离散的均匀分布 连续的均匀分布 泊松分布 在单位时间间隔内随机事件平均发生的次数( . 正态分布 许多偶然因素作用结果的总和。N((，() 表示均值为(，方差为 (的正态分布。 指数分布 质点于随机时间陆续到达的时间间隔，平均时间间隔为1/( 2. 随机数和随机变量的模拟 10. 随机数可由计算机产生 均匀分布的(伪)随机数(rand) ，它在(0, 1) 中的分布是均匀的。 N(0,1)正态分布的(伪)随机数(randn)，它满足均值为0, 方差为1的正态分布。 20.模拟离散随机变量 设离散型随机变量 ( 有分布列 {pi ;i=1,2,…,n}, 令 则得到数组{p(k); k=1,2,…n.}. 以 p(k)为分点，将[0，1]分为 n 个小区间. 取服从[0, 1]区间上均匀分布的随机数R([0, 1], 则容易证明: P( p(k-1) R p(k) ) = pk = P (( = ak ). 即随机事件 “ p(k-1) R p(k) ” 与 “( =ak” 有相同的概率分布。因此取可以取在[0, 1]区间上均匀分布的随机数R=rand ，当p(k-1) R p(k)时，则认为事件 ( =ak发生。 例如，“顾客到达收款台的的规律是：40%的时间没有人来，30%的时间有1个人来，30%的时间有2个人来。” 取随机数 y=rand, 记n为新到的顾客数, 则当0(y0.4时， 令n=0； 当0.4 ( y0.7时，令n=1；当0.7( y( 1时，令n=2。 30.模拟连续随机变量 设连续型随机变量(具有分布函数F(x), 记 (为[0, 1]上服从均匀分布的随机变量。令(=F-1((), 则 P((((-(, x))= P(F-1(() ((-(, x)) =P((((-(, F( x)))= F(x), 即(与( 同分布。因此可以取在[0, 1]区间上均匀分布的随机数y=rand ， 令 x=F-1(y), 则x 为服从分布函数为F(x) 的随机数. 例如， “ 顾客到达收款台的平均间隔时间是0.5 分钟”, 即认为顾客到达的时间间隔服从1/(=0.5 的指数分布，由随机数y=rand ，得到服从指数分布的随机数x= - ln y/ (。 于是，后一位顾客到达时间-前一位顾客到达时间=x. 特别，当y=randn 是服从N(0,1) 正态分布的随机数时， x=(+(1/2y 是服从N((, () 正态分布. 二. 系统仿真（Simulation） 1. 系统仿真：使用计算机对一个系统的结构和行为进