必做05 数学归纳法-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(江苏版)(原卷版).docVIP

理科必做题 专题5 数学归纳法 【三年高考】 1．【2015江苏高考，23】 已知集合，， ，令表示集合所含元素的个数. （1）写出的值； （2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明. . 【2014江苏，理23】已知函数，设为的导数， （1）求的值； （2）证明：对任意，等式都成立. 3．【2016山东文2】观察下列等式： ； ； ； ； …… 照此规律， _________． 4．【2015高考山东，理11】观察下列各式： …… 照此规律，当nN时， . 高考数学归纳法（理科）内容，推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，高考中会涉及和渗透，但单独出题 【考点1】数学归纳法 【备考知识梳理】 1. 一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法． 数学归纳法：设是一个与正整数相关的命题集合，如果：证明起始命题(或)成立；在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定对一切正整数成立． 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： 归纳奠基：证明当取第一个自然数时命题成立； 归纳递推：假设，(，)时，命题成立，证明当时，命题成立； 由得出结论． 明确数学归纳法的两步证明 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”． 用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值的值． (2)由到时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．[来 数学归纳法证明不等式的注意问题 (1)当遇到与正整数有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由成立，推证时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明． “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律． (1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可； (2)在运用数学归纳法时，要注意起点，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目； (3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由到时命题变化的情况． 6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的． “”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是　　　　　． 2.设个正数（且）． （1）当时； （2）当时也成立（且）个正数，其中，，，. （1）试求，，的值； （2）试猜测关于的表达式，并证明你的结论. 2. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知每一项都是正数的数列满足． （1）用数学归纳法证明：； （2）记为数列的前项和，证明： 设表示的整数部分． （）求； （）求满足的的值； （）求证：． 【卷】（本小题满分10分） 设为虚数单位，为正整数，． （1）用数学归纳法证明：； （2）已知，试利用（1）的结论计算 5. 【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】已知数列的通项公式为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求证：对任意的自然数，不等式成立. 6. 【扬州市2016—2017学年度第一学期期（本小题满分10分） ， 其中 是关于的函数. （1）若，求，的值； （2）若，求证：. 7. 【2017南通扬州泰州苏北四市高三二模