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关于长方体体积公式证明 　　摘 要： 长方体的体积等于长乘以宽乘以高，但对于它的证明仅停留在长、宽、高都为整数.本文对此做了补充，并给出长、宽、高为实数的长方体体积的完整证明. 关键词： 棱长 长方体体积 乘积 极限 长方体的体积公式：v=a×b×c，其中a，b，c分别是长方体的长，宽，高.高中立体几何书把这个公式作为公理来推算体积的基础，那么长方体的体积公式是怎样得到的呢？对此，笔者曾作过调查，发现大多数学生不知道，甚至很多数学老师也不以为然.初中教师以学生听不懂为由，课堂上略讲或不讲，高中数学教师认为那是初中数学教师的事.所以关于长方体体积公式的教学成为教学中的薄弱环节，长此以往对学生的发展极为不利. 高中《立体几何》介绍长方体体积公式的时候，首先要单位体积作为标准，然后求出几何体的体积是单位体积的多少倍，这个倍数就是这个几何体的体积数值.通常我们取棱长等于单位长度的正方体的体积作为单位体积.对于棱长都是10的正方体可将棱长10等分，过分点向面作平行平面，形成10×10×10个单位正方体，因此它的体积是1000个单位体积.将长、宽、高分别为3、4、5的长方体，用同样的方法剖分成许多个单位正方体，数一数它们的个数，正好是3×4×5=60个，所以它的体积是60个单位体积.这样，如果长方体的长、宽、高分别是正整数a，b，c，那么，其体积等于a×b×c.后来，我们把数的范围扩大到了有理数、实数范围后，仍然应用这个公式，它的进一步证明很少有人问津. 如果长方体的长、宽、高不是整数怎么办？比如长、宽、高分别为3.2、4.5、6.7，一个顺理成章的办法就是把体积单位变小.例如，把棱长为0.1的正方体的体积0.001看做单位体积，用上述的方法进行分割，得到许多个小正方体，数一数它们的个数，正是32×45×67个，所以它的体积为0.001×32×45×67=3.2×4.5×6.7. 对于长、宽、高为有理数的长方体，我们总可以选择适当小的体积单位，将体积分成整数个小单位体积然后数一数，就可以得到长方体的体积公式：体积=长×宽×高. 如果长方体的长、宽、高不是有理数，要计算长方体的体积就不那么好办了.因为无论将棱长怎么等分，都不可能将其等分成整数个小正方体，由此可以看出用上述方法证明长方体体积公式是有很大的局限性的.我们必须重新寻找一种在实数范围内都适用的长方体体积公式的证明方法. 要证明长、宽、高为实数的长方体体积，先得作以下几条规定：第一，长方体的体积与长、宽、高相关，相同的长方体的体积相等；第二，衡量一个长方体的体积要有一个单位；第三，长方体的长、宽、高相互调换，不影响它的体积；第四，如果将一个长方体分割成两个长方体，原长方体的体积相当于分割后所得的两个长方体体积之和. 设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，（a，b，c是非负实数），它的体积是a，b，c的一个函数，记为V（a，b，c），V（a，b，c）取非负实数值，并具有下列性质： （1）V（1，1，1）=1 （2）V（a，b，c）=V（b，c，a）=V（c，a，b）=V（a，c，b）=V（b，a，c）=V（c，b，a） （3）V（a+d，b，c）=V（a，b，c）+V（d，b，c） V（a+d，b+e，c）=V（a，b+e，c）+V（d，b+e，c）=V（a，b，c）+V（a，e，c）+V（d，b，c）+V（d，e，c） 现在，我们就长方体的体积的概念出发，推导长方体的体积公式：v=a×b×c （1）V（0，b，c）=0 ∵V（0+0，b，c）=V（0，b，c）+V（0，b，c）=2V（0，b，c） ∴V（0，b，c）=0，即长、宽、高只要有一个为0的长方体体积为0. （2）设a=n，b=m，c=h，n，m，h为正整数 V（n，m，h）=V（■，m，h）=nV（1，m，h）=nV（■，h，1）=mnV（h，1，1）=mnV（■，1，1）=mnhV（1，1，1）=n×m×h （3）设a=■，b=■，c=■，n，m，h为正整数 1=V（■，1，1）=nV（■，1，1）=nV（1，1，■）=nV（■，1，■）=nmV（1，■，■） =nmV（■，■，■）=nmhV（■，■，■） 得到V（■，■，■）=■=■×■×■ （4）设a，b，c∈Q■，a=■，b=■，c=■ V（■，■，■）=pV（■，■，■）=pqV（■，■，■）=pqRV（■，■，■）=p×q×R×■×■×■=■×■×■ 这样，对任何非负有理数a，b，c，都能得到v=a×b×c. （5）设a，b，c为非负实数.对于任何实数都有两个有理数列从左右两边无限的逼近它. 设有理数