基本不等式之1的代换.docVIP

专题：均值不等式应用中“1的代换” 不等式是高中数学的重要内容之一，利用均值不等式求最值以及证明不等式是重中之重.纵观近几年全国各省的高考题与竞赛题，可以发现均值不等式中与“1”有关的试题频频出现，好学教育老师对此总结如下，以供大家参考. 【题引】【安徽省皖江名校2016届高三12月联考数学（理）试题】 已知实数满足，若目标函数的最小值为2，则的最小值为（ ） 【答案】 【解析】 首先作出可行域，如下图所示， 把目标函数，变形可得，斜率为负数，当取得最小值时， 联立求出交点A的坐标，当目标函数过点A时取最小值，代入得，即 所以，当且仅当时，取最小值，故选． 【考点】线性规划；基本不等式之1的代换. 【点评】这道题目除了考查线性规划外，还考查了常数的代换，或称为“1的代换”，更具体的说，其与一般代换还是不同的，它更像是在所求的式子后面乘以一个1，或者是一个常数，因此，我们把此类解题技巧定义为“1的代换”. 【使用情景】 使用“1的代换”解题的结构特征： ①都可转化为条件求最值问题，且已知是“和式”，所求也是“和式”，同时要求两和式是一整式，一分式（或化为分式）； ②已知“和式”可变为常数“1”； ③两个“和式”都是齐次式或可变为齐次式。 符合上述特征的题目，通过“1”的代换轻松解决问题。 【题型归纳】 题型1 直接使用“1的代换” 题目1：已知＋＝1，(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为(　　)． A．1 B．2 C．4 D．8 x＞0，y＞0，x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8.当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号．设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则＋的最小值是(　　)． A．2 B. C．4 D．8 由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)． A. B. C．5 D．6 审题x＋3y＝5xy可＋＝1， 变式2：在4×（ ）+9×（ ）＝60的2个（ ）中，分别填入2个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填 和 。 审题＝1，符合“1”的代换法解题指针。 解： 题型2 构造的“1的代换” 此类题目没有直接给出和式条件，所以需要从条件中找出和式条件，继而使用“1的代换”进行求值. 题目3：设若的最小值为 （ ） A． B．1 C．4 D．8 【答案】C 【解析】 试题分析：由等比中项得 ，当且仅当时等号成立， 所以最小值为4，故选C 考点：均值不等式求最值 题目4：已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为(??? ) A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，，即， 所以，即。 所以， 当且仅当即取等号，此时， 所以时取最小值，所以最小值为，选A. 【点评】上面两道题目是关于求最值的题目，且是二元式子的最值，此类题目我们要做的是首先找两变量之间的关系. 变式3：设为坐标原点，第一象限内的点的坐标满足约束条件，，若的最大值为，则的最小值为（ ） （A） （B） （C）1 （D）4 审 题：找出和式条件 解： 变式4：函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为 ． 【答案】8 解： 变式5：已知，且，则的最小值为 【答案】 解： 题型3 隐藏“1” 此类题目条件中没有给出含“1”的等式，无法直接使用“1的代换”法求解，但观察题目，发现其分母之和为常数，故可构造出“1”的等式，即可使用“1的代换”法求解. 题目5：已知，，，求的最小值. 【答案】 【解析】 试题分析： 当且仅当，即时等号成立 故 【点评】本题条件中没有给出含有1的等式，无法直接使用“1的代换”法求解，但观察待求函数易知其分母和为1，故可将代入所求函数解析式，即可用“1的代换”求解. 题目6：已知，求函数的最小值 【答案】. 【解析】 试题分析： 当且仅当，即时取等号 所以函数的最小值为. 变式6：已知，，求的最小值 解： 变式7：求的最小值 解： 题型4 部分使用“1的代换” 若形如“已知，求的最小值”，只需部分使用“1的代换”，即 题目7：设正实数 满足的最小值为 ． 【答案】1 【解析】 试题分析：， ． 当且仅当即时取得等号． 题目8：【2013天津理】设a + b = 2, b0, 则当a = 时,