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第二节 微积分学基本公式 与基本定理 作业 习题3.2(A) 3(4) (6) , 4(4)(5)(6)(7),6,7,10,12, (B)2,3 一、问题的提出 二、变上限积分及其导数 例2. 三、牛顿—莱布尼茨公式 2、 基本积分表 例5 四、小结 例6 例8. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , * 在变速直线运动中, 已知位移函数 与速度函数 之间有关系: 物体在时间间隔 内经过的路程为 ? 猜测： 考察定积分 记 变上限积分（函数，且可导） y=f(t) 定理1 (微积分第一基本定理) 证 推论 证 例1 求极限 解 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 证明 在 内为严格单调递增函数 . 证: 只要证 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 定义2.1 (原函数) 如果在区间 I 上有 如果F（x)是 f ( x ) 在 I 中的一个原函数 定理3 (微积分第二基本定理) 则F（x）+C是f ( x )在I中的所有原函数。 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原数， 则 （ 为任意常数） 定理 4（微积分基本公式） 证 Newton—Leibniz公式 注意 例3 例4 求 解 解： 例5. 设 求 定积分为常数 , 设 , 则 故应用积分法求此常数 . 任意常数 积分号 被积函数 四、不定积分 被积表达式 积分变量 函数 f ( x )的所有原函数F（x)+C的表达式， 称为 f ( x )的不定积分（集合），记为 例如 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 1、基本性质 是常数); （16） 例1 求积分 解 例2 求积分 解 例3 求积分 解 例4 求积分 解 3.微积分基本公式 1.变上限积分函数 2.变上限积分函数的导数 4.不定积分 解 所求曲线方程为 例7 速停车, 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时, 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为 刹车, 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离?