单自由度振动系统学习.PPTVIP

单自由度定义 只有一个自由度的振动系统，称为单自由度振动系统，简称单自由度系统。 自由度：指完整描述一个振动系统时间特性所需的最少的独立坐标数，在理论力学中用广义坐标数。 几种单自由度系统的示例 无阻尼自由振动 自由振动：系统在初始激励下，或外加激励消失后的一种振动形态。 系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象，是一种理想条件，实际的系统都有阻尼。如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世界将处于无休止的振动中。 振动系统微分方程步骤 以系统的静平衡位置为坐标原点，以水平向右为轴正向，建立如图所示的坐标系 设在某一瞬时t, 质量沿坐标方向有一位移x，画出质量此时的隔离体受力图。 图形 建立系统的微分方程 根据牛顿第二定律（Newton second law） 建立系统的微分方程。 方程化简 对于无阻尼自由振动，我们有 因此，原方程改写为： 确定微分方程的初始条件 在t=0时，初始位移为 ，初始速度为 则方程的初始条件为： 完整形式 单自由度无阻尼自由振动的运动微分方程为： 改写 令 ，则上式可以写为 求解系统微分方程 上节得到的为质量m的位移x随时间t变化的二阶、常系数、齐次常微分方程。 根据微分方程的理论，可知该微分方程组的通解为： 积分常数的确定 这里的A，? 是任意常数，由微分方程的初始条件，即运动的初始条件确定 对通解两端求导 代入初始条件 当 时， 从而得到 三角公式推导 根据三角函数公式 令： 幅值和相角的确定 由前面推导 初始条件和相角取值的关系 结论1 单自由度无阻尼自由振动为简谐振动——位移可以表示为时间的简谐函数（正弦或余弦） 结论2 响应满足叠加原理 系统在初始位移单独 作用下的自由振动，此时 ， 系统在初始速度 单独作用下的自由振动，此时 ， 系统总响应 振动系统总的响应=上述两部分响应之和 叠加性是线性系统的重要特征 数字特征 ——振幅，振动物体离开静平衡位置的最大位移 ——圆频率 ——振动周期，旋转矢量转动一周（ ），振动物体的位移值也就重复一次， 振动周期：振动重复一次所需要的时间间隔 ——振动频率，单位时间内完成的振动的次数 固有特性 可见，上述三个量都由振动系统的参数确定，而与初始条件无关，是系统的固有特性，因而又称作：固有圆频率、固有周期和固有频率 系统的初始条件只决定振动的振幅和初相位 系统参数对振动特性的影响 振系的质量越大，弹簧越软，则固有频率越低，周期越长；质量越小，弹簧越硬，则固有频率越高，周期越短，这个结论对复杂的振动系统也同样的适用 分析弹簧悬挂物体的垂直振动 以振子的平衡位置为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 弹簧的自有长度为 ，当物体从平衡位置离开时，弹簧的伸长为 ，则物体的隔离体受力如图所示： 简图 微分方程和求解 可以写出系统的微分方程 由于 所以，上式得化简结果仍然是 ： 结果 因此，系统的固有频率仍然是： 由 代入上式： 得到： 结论 由弹簧的静变形可以计算出系统的固有频率 在写微分方程的时候，可以以物体的静平衡位置为坐标原点，而不必考虑物体重力造成的弹簧静变形 作业 能量法原理 在阻尼可以略去不计的条件下，振动系统自由振动时的机械能（动能+势能）保持常值。 对上式两端求导，可得 自由振动系统性质 对一个振动系统，如在动能最大时，取势能为零，则在动能为零时，势能取最大值。 常见物体的动能计算 质点或平动刚体 定轴转动的刚体 平面运动的刚体 常见物体的势能计算 拉伸弹簧 扭转弹簧 刚体的重力势能 势能参考点的选取 势能是一个参考值，和其具体值的大小和参考点选取有关 在使用 时，要注意，势 能基准值的选取，应使振动系统在动能最大时，势能为零。 例一 如图的系统，使其偏转 角后放手，求系统的微分方程和固有频率 例一解 选取圆盘的扭转角 为广义坐标，箭头方向为正向，平衡位置为转角零点，建立如图所示的广义坐标 系统的动能 系统的势能 由系统机械能守恒 得： 由于 是方程的平凡解，两边除 ， 并令： 方程化简为： 例二（兼作业） 系统如图，杆和弹簧的质量不计，在静平衡时水平，求其系统的微分方程和固有频率 （提示：取静平衡位置为坐标原点，可不考虑重力势