初等数论导学大纲.docVIP

《 初等数论 》教学大纲 一、课程代码:21002144310 二、课程名称 （1）中文名：初等数论 （2）英文名：Elementary Number Theory 三、课程管理院（系）及教研室:理学院基础数学教研室 四、大纲说明 1、适用专业、层次:商务策划数学与应用数学专业,本科 2、学时与学分数:54学时,18学分 3、课程的性质、目的与任务:初等数论是商务策划数学与应用数学专业（本科）的专业基础课。初等数论是研究整数的基本性质和方程(组)整数解的一个数学分支。数学与应用数学专业（本科）开设本课程的目的在于使学生孰悉数论的初步理论、掌握数论的最基本方法，为今后学习相关课程打下必要的基础。因此，在教学中要求：（1）对初等数论的基本内容作系统讲授；（2）注意数论与其它数学分支的联系与应用；（3）简要介绍一些数论的近代成就及我国数学家在数论方面的贡献。 4、先行、后续课程：先行课程为《高等代数》、《数学分析》、《解析几何》等；后续课程为〈近世代数〉、〈图论〉、〈离散数学〉等。 5、考试方式与成绩评定: 笔试。成绩评定方式按学校规定执行。 五、纲目 第一章 整除理论 [教学目的] 以带余除法为先导，以辗转相除法、最大公因数、最小公倍数和算术基本定理为主干、讲授整除理论中最基本的性质。 [教学重点与难点] 最大公因数的性质及应用，算术基本定理的证明及应用。 [教学时数]14学时 [教学方法与手段]课堂教学 第一节 整除定义及其基本性质 最大公因数与最小公倍数 素数 算术基本定理 Mersenne数、Fermat数与完全数 Gauss函数及其应用 例题与习题 第二章 同余式（组） [教学目的] 同余是数论中的一个基本概念，是整除概念的推广。本章首先介绍同余的概念及基本性质，引入完全剩余系与简化剩余系的概念，建立Euler定理和Fermat定理。介绍同余式的解法，主要研究一次同余式（组）、素数模的高次同余式及合数模的高次同余式。 [教学重点与难点] 同余的概念及基本性质，Euler定理、Fermat定理及其应用，孙子定理及素数模的高次同余式。 [教学时数] 16学时 [教学方法与手段]课堂教学 同余的概念及基本性质 剩余类、完全剩余系 Euler函数、简化剩余系 Euler定理和Fermat定理 一次同余式 一次同余式组 素数模的高次同余式的性质及解法 合数模的高次同余式的性质及解法 例题与习题 第三章 不定方程 [教学目的] 讨论二元一次不定方程有解的条件及其解法，进而研究多元一次不定方程有解的条件及其解法。介绍一些特殊的二元二次不定方程（商高不定方程）的解法，Fermat大定理的历史及求解结果。 [教学重点与难点] 二元一次不定方程有解的条件及其解法，二元二次不定方程（商高不定方程）的解法。 [教学时数] 12学时 [教学方法与手段]课堂教学 二元一次不定方程有解的条件及其解法 多元一次不定方程的解法 多元一次不定方程的应用（整数规划） 勾股数 Fermat大定理简介 例题与习题 第四章 二次同余式与平方剩余 [教学目的] 引入平方剩余与平方非剩余的概念,介绍平方剩余与平方非剩余的判别条件。引入Lerandre符号、Jacobi符号，并用它研究素数模的二次同余式及合数模的二次同余式。 [教学重点与难点] 平方剩余与平方非剩余的概念，Lerandre符号。 [教学时数] 16学时 [教学方法与手段]课堂教学 平方剩余与平方非剩余的概念 平方剩余与平方非剩余的判别条件 Lerandre符号 Lerandre符号的应用 Jacobi符号 素数模的二次同余式 合数模的二次同余式 例题与习题 第五章 原根与指标 [教学目的] 介绍指数及原根概念与基本性质、原根存在的充分必要条件、原根的求法，讨论同余式xna (mod m) 有解的条件。 [教学重点与难点] 原根概念，原根存在的充分必要条件，原根的求法。 [教学时数] 12学时 [教学方法与手段]课堂教学 指数及其性质 原根概念及其性质 原根存在的充分必要条件 原根的求法 同余式xna (mod m) 有解的条件 例题与习题 六、课程学时分配表 教学内容(章) 讲课学时 实验学时 上机学时 习题课 其它 第二章整除理论 14 第二章 同余式（组） 16 第三章 不定方程 12 第四章 二次同余式与平方剩 16 第五章原根与指标 12 复 习 2 合 计 72 七、建议教材与教学参考书 [1]郑克明，数论基础，西南师范大出版社，1994。 [2]柯召、孙琦，数论讲义（上），高等教育出版社，1997。 [3]闵嗣鹤、严士健，初等数论，高等教育出版社1981。 [4]熊