线性模型附自相关与偏相关函数.docVIP

模型的等价形式 （1）与两个多项式满足一定约束. 为正态白噪声，当时. （2）传递形式——模型平稳解的一种表达方式. （3）逆转形式——模型中的白噪声表达成的形式. 传递形式——模型平稳解的一种表达方式 若在上述差分方程中给了白噪声序列的一串样本值而的相应样本值可用普通的差分方程解法来求解. 例 模型，注意，可解出 （） 为平稳序列，，当时，若，则. （延迟算子组成的多项式，可以形式地进行代数运算，明确真实含义为. 须在条件条件下无穷求和才有意义 ） ：随机线性模型这种等价形式称为模型的传递形式，式中的称为格林函数，若具有式的等价形式，就表明平稳序列可由现时刻以前的白噪声（输入随机冲量）通过系数系统作用而生成. 即是物理可实现的. Theorem：当没有模为的根时，物理可实现的充分必要条件是的根全部在平面的单位圆外. （由此可见平稳性条件是多么重要）. 一般形：模型（差分方程）解，依上所述有 其中，系数由以下等式 比较两边的系数而得到. 易见，其它的可由递推形式逐个得到. 比如，等式右边的系数是，等式左边的系数是. 由得到. 称式为模型的传递形式，其平稳解用白噪声现时刻以前的无穷滑动和的形式表达出来（为保证式中的无穷滑动和是在均方意义下收敛的，须要证明（事实上我们将证明一个更强的结论，即当时，依负指数律趋于零.）对模型而言，其本身就是传递形式： 有：. 再阅或模型. 例1 模型其传递形式为 其中即. . 另外，直接展开 ，也同样得上述结果 （ ） 例2 模型，其传递形式为 . 其中即. 比较的系数得到 . （ ） 例3 模型： 根全在单位圆外，其本身即为传递形式， 为正态白噪声，. 对于一般模型而言，给出的通用表达式是较麻烦的，而且我们也不需要，我们关心的是的收敛情况，即当时趋于零的速度，注意 () . 可见当时，（比较等式两边系数）特别当时，上式又可简写为 这说明当. 满足差分方程，这是普通的常系数线性差分方程，而且易知都是有穷值，根据差分方程理论（Box and Jenkins [14]）. 由于多项式满足平稳性条件（其根全在单位圆外），存在正常数使得 . 即被一负指数函数所控制. （这同第一章知识相一致） 2．逆转形式—模型中的白噪声表示成的形式. 下面考虑传递形式的相反问题，即差分方程中白噪声怎样用表达出来，与上面讨论完全类似. 其中满足，稍有差异的是，我们这里假设 这种符号上的差分方程的逆转形式，因此有： 对于一般模型而言，仍有占上述类似公式： （不防相同）使： . 式称为随机线性模型的逆转形式，式中的称为逆函数. 模型的逆转形式反映了随机序列现时刻和以往各时刻之间的关系. Theorem：模型能够表示成逆转形式的根全在单位圆外（即模型满足可逆性条件）. 例1 模型. 其逆转形式为 可导出：，. （比较的系数） 下面讨论模型解出的序列的性质. §2 序列的自相关与偏相关函数 本节介绍序列的自相关函数与偏相关函数及性质，并讨论它们与模型参数之间的关系. 第一章知识：平稳序列为序列它具有有理谱. 现在我们利用有理谱的平稳序列所满足的模型，导出其自相关函数性质和表达式. 用序列的传递形式和白噪声性质知，的自协方差函数为 （1） （） 表示的自协方差函数，对于的自相关函数为 （2） 与只是其表达式之一，（第一章§3 P23已介绍） 下面介绍，及序列的自相关函数的性质及其它表达方式. 一、序列的自相关函数 当为序列时，将代入①②得： （3） （）（ = （4） （） Remark：这两式说明，当与的相隔步数时，与不相关，即序列