第三章第八节正弦定理与余弦定理应用举例.docVIP

第三章 第八节 正弦定理和余弦定理应用举例 题组一 距 离 问 题 1.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为(　　) A.海里/时 B．34海里/时 C.海里/时 D．34海里/时 解析：如图．由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°. 在△PMN中，由正弦定理，得 ＝， ∴MN＝68×＝34. 又由M到N所用时间为14－10＝4小时， ∴船的航行速度v＝＝(海里/时)． 答案：A 2．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km. 解析：如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30 km. 答案：30 3.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长． 解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.① 在△BCD中，由正弦定理可得 BC＝＝a.② 在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°， 所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为 AB＝＝a. 题组二 高 度 问 题 4.据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是(　　) A.米 B．10米 C.米 D．20米 解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A， 则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°， ∴∠OAB＝60°. 由正弦定理知，＝， ∴AO＝(米)． 答案：A 5．在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 m，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________． 解析：如图，依题意有PB＝BA＝30，PC＝BC＝10.在三角形BPC中，由余弦定理可得 cos2θ＝ ＝， 所以2θ＝30°，4θ＝60°，在三角形PCD中， 可得PD＝PC·sin4θ＝10·＝15(m)． 答案：15 m 6.为了竖立一块广告牌，要制作三角形支架，三角形支架如图所示，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1 m，且AC比AB长0.5 m．为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？当AC最短时，BC的长度为多少米？ 解：法一：在△ABC中，b＝c＋，C＝60°，a1. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC， 即c2＝a2＋2－a，整理得 c＝＝(a－1)＋＋≥＋， 当且仅当a－1＝，即a＝1＋时，c取最小值，此时b＝c＋＝2＋. 即AC最短为2＋ m，此时BC的长度是m. 法二：在△ABC中，c＝b－，C＝60°. 由正弦定理得＝，整理得 b＝＝. ∵0°B120°，∴sinB∈(0,1]， 当sinB＝1时，最小，2－最大． ∴b＝最小， 此时，b＝＝2＋，c＝b－＝＋. 由勾股定理可求得a＝BC＝ m. 题组三 角 度 问 题 7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于(　　) A．120° B．105° C．90° D．75° 解析：∵c＝a，∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝(sinC＋cosC)， 即sinC＝－cosC.∴tanC＝－.又C∈(0,180°)， ∴C＝120°. 答案：A 8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋bc新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大． 而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形． 答案：A 题组四 正、余弦定理的综合应用 9.有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为(　　) A．300 m B．400 m