【走向高考】2016届高三数学一轮专题4 高考中的立体几何问题(含解析)北师大版.docVIP

专题四　高考中的立体几何问题 1.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB． (1)求证：CE⊥平面PAD； (2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积． [解析]　(1)∵PA⊥底面ABCD，CE平面ABCD ∴CE⊥PA， 又∵AB⊥AD，CE∥AB．∴CE⊥AD． 又∵PA∩AD＝A，∴CE⊥平面PAD． (2)由(1)可知CE⊥AD． 在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1. 又∵AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形． ∴S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△CDE＝AB·AE＋CE·DE ＝1×2＋×1×1＝. 又PA⊥底面ABCD，PA＝1 所以V四棱锥p－ABCD＝S四边形ABCD×PA＝××1＝. 2．(2015·潍坊模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点． 求证：(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD． [证明]　(1)在△PAD中，因为E、F分别为AP、AD的中点，所以EF∥PD． 又因为EF?平面PCD，PD平面PCD． 所以直线EF∥平面PCD． (2)连结BD．因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD． 因为平面PAD⊥平面ABCD， BF平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD． 又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD． 3．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD、PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD． [解析]　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD． (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形． 所以BE∥AD． 又因为BE?平面PAD，AD平面PAD， 所以BE∥平面PAD． (3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD． 由(1)知PA⊥底面ABCD．所以PA⊥CD． 所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥PD． 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF， 又因为CD⊥BE，BE∩EF＝E， 所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PCD． 4．如图，在几何体P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2. (1)当AD＝2时，求证：平面PBD⊥平面PAC； (2)若PC与AD所成的角为45°，求几何求P－ABCD的体积． [解析]　(1)证明：当AD＝2时，四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC． ∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD， ∴PA⊥BD． 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC． ∵BD平面PBD， ∴平面PBD⊥平面PAC． (2)解：PC与AD成45°角，AD∥BC， 则∠PCB＝45°. ∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAB，PB平面PAB． ∴BC⊥PB． ∴∠CPB＝90°－45°＝45°. ∴BC＝PB＝2. ∴几何体P－ABCD的体积为×(2×2)×2＝. 1.(2014·四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形． (1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1； (2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． [解析]　(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC． 因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线， 所以AA1⊥平面ABC． 因为直线BC平面ABC，所以AA1⊥BC． 又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线， 所以BC⊥平面ACC1A1. (2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点． 由已知，O为AC1的中点． 连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 所以，MD綊AC，OE綊AC， 因此MD綊OE. 连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO. 因为直线DE?平面A1MC，MO平面A1MC． 所以直线DE∥平面A1MC． 即线段AB上存在一点M(线段AB的中