七年级数学培优竞赛讲座第1讲_走进美妙的数学世界.docVIP

第一讲 走进美妙的数学世界 从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学，人类任何时候都受到数学的恩惠和影响，数学科学是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系． 走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数观念； 走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案； 走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表达数据和信息； 走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知． 诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构．” 例题 【例1】 (1)我们平常用的数是十进制数，如2639＝2×103+6×102+3×10＋9，表示十进制的数要用10个数的数码(又叫数字)：0，1，2，3，……9，在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中101＝1× 22+0× 21+1等于十进制的数5，那么二进制中的1101等于十进制的数 ．(浙江省金华市中考题) (2)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大．吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”．满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方．再相加。得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和……．重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝ ，我们称之为数字“黑洞”． (青岛市中考题) 思路点拨 (1)从阅读中可知，无论何种进制的数都可表示与数位上的数字、进制值有关联的和的形式；(2)从一个具体的数操作，发豌规律． 【例2】 A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时．统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、l场球，则还没有与B队比赛的球队是( )． A．C队 B．D队 C．L，队 D．F队 (第18届江苏竞赛题) 思路点拨 用算术或代数方法解，易陷入困境．用6个点表示A、B、C、D、E、F这6个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线。这样用图来辅助解题，形象而直观． 【例3】校教具制造车间有等腰直角三角形、正方形、平行四边形三种废塑料板若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块，恰好拼成了一个矩形(如图①．后来，又用它们分别拼出了X、Y、Z等字母模型(如图②，图③，图④)，如果每块塑料板保持图①的标号不变，请你参与： (1)将图②中每块塑料板对应的标号填上去； (2)图③中，只画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号， (3)在图④中，请你适当画线，找出7块塑料板，并填上标号． (2002年烟台市中考题) 思路点拨 动手实验、操作．从对图形分割人手． 链接 数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常有助于问题的解决． 【例4】 根据图①和图②回答问题： (1)1997年与2000年相比，产值比重减少最多的是哪个产业? (2)假定2000年光机电一体化的产值是1997年的2倍，那么2000年高新技 术产业工业总产值比1997年增长率是多少? (3)2000年与1997年相比高新技术产业生产值总额增加最多的是哪个产业? (2003年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题) 思路点拨 从给定的扇形统计图表中获取信息，须注意的是扇形统计图表示的是某一部分占总体的百分比(或称某一部分的比重)，因此，需要引入字母表示某种产值的具体数额，【例5】 一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和是1999，求这个四位数，并说明理由． (重庆市竞赛题) 思路点拨 设所求的四位数为，由题意可得关于、、、的一个等式，运用估算、讨论、枚举等方法，分别求出、、、的值． 注：解与整数相关的问题，常常要用到“估算”这种重要方法．运用估算是在解决问题的过程中，合理运用缩放、近似等方法简化计算的一种算法，运用估算往往能使我们更迅速地接近正确目标． 链接