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第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题A参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共80分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 2 五 5 6 93 9 108 7 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程） 【答案】 【】设甲乙 , , . 如果a是奇数, 则b是偶数, 即使乙的得票数增加了若干票, 甲减少了相应的票数, 甲乙得票数的奇偶性不变. 这时乙要恰好胜甲, 只要比甲多得1票即可, 也就是比甲减少4票后所得票数多1票, 即等于甲减去3票所得之差, 故, 此时甲乙二人得票数的差是 (票), 甲得票数是(票), 乙得票数是(票). 如果a是偶数, 则b也是偶数, 即使乙得票数增加4票, 甲得票数减少4票, 二人的得票数仍然都是偶数. 因此, 这时乙要恰好胜甲, 只需比甲乙多得2票即可, 而此时甲乙得票数相差 (票), 甲得票数是 (票), 乙得票数是126-6=120 (票). 【答案】 【】中, , 所以 (厘米). 在中, , 所以 (厘米). 在中, , 所以 (厘米). 在中, , 所以 (厘米). 因此, (厘米). 【答案】 【】 由 得 由 得 , . 此式有整数解: ; ; ; ; . 但只有一组解符合要求. 此时, . 即甲进水阀开1小时, 乙进水阀开1小时, 甲、乙两进水阀同时开5小时, 注满水池. 【答案】 【】一个多边形被分成两部分, 其内角和增加, 次共增加的度数至多为, 所以这个多边形的度数和至多是. 另一方面, 20个五边形的度数和为, 剩余的个多边形的度数和最小是, 这样得到 整理得. 当时, 可以先将五边形切成一个五边形和一个四边形, 然后用18次将四边形分成19个四边形, 再用19次将每个四边形切成五边形, 这样就用38次将其切成20个五边形. 15 分, 共30分, 要求写出详细过程） 【答案】 【】 对于第一类, 凸字形的头不能粘在方格纸的四个角, 边框上 (不是角)的小方格共有 (个), 有14个图形. 　　第二类, 方格纸内部的每一个小方格可以粘凸字形的头, 有头朝上, 头朝下, 头朝左, 头朝右之分. 所以, 这类图形有 (个). 由加法原理知, 共有种图形． 由于方格纸的每个小方格都与另外一个小方格的旋转对称, 所以总的不同图形为 (个). 【答案】 【】 另一方面, 对于任意9个非负整数, 从中任取7个, 它们的两两之和共有21个, 这21个和数除以20的余数有21个. 因为余数最多有20个不同的值, 所以有下述两种情况之一发生: 1) 有4个不同的数a, b, c, d使得与除以20有相同的余数 2) 有3个不同的数使得与除以20有相同的余数 是20的倍数是20的倍数是20的倍数. 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案(小学高年级组) - 4 -