解一元二次方程式.docVIP

代數第七章 目錄 第七章 一元二次方程式的解法 1 學習目標 1 7.1節 認識一元二次方程式 2 7.1節 習題 8 7.2節 用因式分解解一元二次方程式 10 7.2節 習題 20 7.3節 用配方法解一元二次方程式 22 7.3節 習題 35 7.4節 一元二次方程式的公式解 38 7.4.1節 一元二次方程式解的判別 40 7.4.2節 用公式解解一元二次方程式 42 7.4節 習題 53 7.5節 一元二次方程式的應用題與綜合題 55 7.5節 習題 70 第七章綜合習題 74 基測與會考試題 78 習題解答 83 第七章 一元二次方程式的解法 我們已經學過了一元一次方程式與二元一次方程式，在本章中，我們將學習一元二次方程式，並學習用多種方法來解，熟悉一元二次方程式解法後，可以再延伸到二次函數及其圖形。 學習目標 1.瞭解什麼是一元二次方程式。 2.能利用因式分解、配方法、公式解找出一元二次方程式的解。 3.能利用判別式判斷一元二次方程式解的種類。 4.能處理一元二次方程式的應用問題。 7.1節 認識一元二次方程式 前面的章節中，我們學過了一元一次方程式、二元一次方程式： 一元一次方程式是指只有1個未知數(一元)，未知數最高次數為1(一次)的方程式， 如。 二元一次方程式是指只有2個未知數(二元)，未知數最高次數為1(一次)的方程式， 如。 同樣地，一元二次方程式就是只有1個未知數(一元)，未知數最高次數為2(二次)的方程式，如、 我們先來看看什麼樣的場合會用到一元二次方程式。 例題 7.1-1 請依下列敘述列出一元二次方程式： (1)某三角形的底為公分，高為公分，面積為30平方公分。 (2)小華買了枝原子筆，每枝原子筆售價都是元，小華共花了65元。 (3)與兩數的乘積為6。 詳解： (1)三角形的面積等於底×高×。 列成方程式為 繼續化簡 (等量公理，等號左右同乘以2) (2)總價等於單價×枝數。 列成方程式為 繼續化簡 (3)列成方程式為 繼續化簡　 由例題7.7-1可知，生活中有很多情境是可以列成一元二次方程式的。 接著我們再來看看什麼是一元二次方程式的解。 與一元一次方程式相同，只要將一個數代入方程式中的未知數，若能使等號的兩邊相等，則稱此數為該一元二次方程式的解(或根)。 我們試試看－2、－1、0、1、2這些數中有哪幾個是一元二次方程式的解。 －2： ，等號不成立，－2不是此方程式的解。 －1： ，等號成立，－1是此方程式的解。 0： ，等號不成立，0不是此方程式的解。 1： ，等號不成立，1不是此方程式的解。 2： ，等號成立，2是此方程式的解。 因此－1與2都是一元二次方程式的解。 例題 7.1-2 下列哪些敘述是正確的？ (1) 3是的解 (2) 4是的解 詳解： (1)將代入： 等式成立，因此3是的解。 (2)將代入： 等式不成立，因此4不是的解。 例題 7.1-3 若是一元二次方程式的解，試求a之值。 詳解： 是一元二次方程式的解， 也就是將代入方程式，可使等式成立。 (將代入) 【練習】7.1-3 若是一元二次方程式的解，試求a之值。 若是想找一元二次方程式的解，有一個性質我們必須熟悉： 若，則或 我們來證明這個性質： 已知，我們想利用等量公理，將等式左右都乘以消去a，但必須在時才能乘以，故我們先看的情形。 (，利用等量公理，將等式左右都乘以) 即時，可推得。 另一個情形是，即為此性質的另一個結果。 由以上討論可知，若，則或。 利用這個性質，我們可以解一些一元二次方程式。 如要解，我們可以從方程式推得或。 ，即；，即。 因此的解為或。 驗算：時，；時，。 例題 7.1-4 求下列一元二次方程式的解。 (1) (2) (3) (4) 詳解： (1)由題目可知，或可使等式成立。 → 解為、。 (2)由題目可知，或可使等式成立。 → → 解為、。 (3)由題目可知，或可使等式成立。 → → 解為、。 (4) 兩個含x的式子都相同，時可使等式成立。 → 解為。 同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。 在例題7.1-4(4)中，若是依(1)～(3)的答案寫法，(4)的答案可寫成、2。 像這種兩個解都相同的情形，我們稱為重根，也就是一個解重覆出現兩次。 【練習】7.1-4 求下列一元二次方程式的解。 (1) (2) (3) (4