工程数值方法2第四章.pptVIP

帕徳逼近 这里不妨设 。并记 —Taylor多项式 为在 中寻找满足（3.1）的有理函数，而不是多项式。 帕徳逼近基本理论 首先将商的求导问题转化为乘积的求导问题 定理1 令 并且假设 ，那么 的充要条件是 帕徳逼近基本理论 证明: 由定理假设 令 ，于是 应用Leibnitz关于乘积的求导公式,从上式得到 ， 帕徳逼近基本理论 若 那么（3.2）式蕴含着 成立，反之，如果 成立，那么（3.2）左端为0.在（3.2）中令k = 0 得到等式 ，但由定理假设 ，于是 帕徳逼近基本理论 完全类似，在（3.2）中令 k=1 有 ，由于有 ， 从而有 继续这样的讨论，就可以证明 。 帕徳逼近计算方法 下面讨论Pade逼近的计算方法，记 并且假设 和 无公因子，此外为了使 有定义，必须有 。 由于 ，在下面讨论中假设 。 帕徳逼近计算方法 定理2 令 并约定 ，当 时， 当 时， 。那么Pade逼近插值问题等价于下列方程组的求解 帕徳逼近计算方法 证明：记 从定理1知Pade插值问题等价于下列关系式： 现在，由于 ，并应用Leibnitz公式 帕徳逼近计算方法 故有 在（3.4）中两边约去k！并注意 整理即得（3.3）。 帕徳逼近计算方法 若约定记号 时 ，那么（3.3）可写成下列矩阵形式： 存在和唯一性 定理3 记矩阵 ，若H非奇异，则插值的解存在且唯一。 例题 例 对函数 y=ln(1+x), 取x0=0, 求建立帕徳逼近 R(2,2)及R(3,3) 。 解： 例题 例题 解得 例题 例题 连分式插值 于是得 本章习题 作业 P94-95 19, 21,22 * 第4章 有理逼近 §4.1　连分式概念 §4.2　有理插值 §4.3　帕徳（Pade）逼近 代数插值，计算简单，光滑性好，是逼近光滑函数的重要工具.但当函数 在某点a 附近无界，或当 而 趋向于某一定数时，采用多项式作 的插值函数，插值效果差。 （1） 多项式不能反映在某点 a 附近无界, （2 ）当 时多项式的值总时趋于无穷. 有理分式 能很好地反映函数在 附近无界，并且也保证了当 时趋于某个定值 。 用有理函数逼近可得到较好的效果。 所谓有理函数是指用形如 的函数逼近 。如果取 最小就可得到最佳有理一致逼近，如果取 最小则可得到最佳有理平方逼近函数。 §4.1 连分式概念 下面介绍运用辗转相除即连分式的方法求有理分式之值，以下例说明 例1 给出有理分式 试运用辗转相除法将它化成连分式。 辗转相除法例题 解：第一步。将分子分母相除，得到商式及分式，计算过程如下 故有 辗转相除法例题 由于 比 的次数高，故又可相除，并得到新的商式 余式 再将 转为分子， 转为分母相除最后得到 辗转相除法例题 这个方法称为辗转相除或连分式法 连分式例题 例2 求 的连分式逼近。 解：将等式 两边平方有 ， 将右端 y 反复用 代入就有 连分式例题 连分式例题 将上式右端 略去，就有近似式 连分式例题 计算结果如下 当 时从 产生出一序列来逼近 ： 即写成 1.5，1.4，1.417，1.4138，1.41429， … 而 §5.2 有理插值 插值问题的提出 记 ， 其中 称 为有理分式，记为 ， 分别为次数不高于n,m次的多项式并且是不可约的。 包含了个n+m+2个参数，但自由度只有n+m+1个。 有理插值问题