导与练普通班2017届高三数学一轮复习第2节导数在研究函数中的应用第五课时利用导数研究函数零点专题课件理.pptVIP

数学 第五课时　利用导数研究函数零点专题 利用导数研究函数零点问题是导数的应用之一,也是高考考查的热点题型,常作为解答题的一问出现,难度较大.解决此类问题一般是利用转化与化归思想把问题转化为相应的方程根的问题或函数图象交点问题. 专题概述 方法一 利用函数图象研究函数零点问题 【例1】 已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围. 解：(2)因为f(x)在x=-1处取得极值, 所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0, 所以a=1. 所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3. 由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1. 由(1)中f(x)的单调性,可知f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1, 在x=1处取得极小值f(1)=-3. 因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,又f(-3)=-19-3, f(3)=171, 结合f(x)的单调性,可知m的取值范围是(-3,1). 反思归纳 利用导数研究方程的解,就是利用数形结合的思想,通过函数的性质找到方程解的各种情况所满足的关系式.如本例可归结为方程g(x)=f(x)-m=0有三个不同的实数解,函数g(x)是存在两个极值点的三次函数,要使方程g(x)=0有三个不同的实数解,只要函数的极大值大于零且极小值小于零即可. 提醒:对于存在一个极大值和一个极小值的函数,其图象与x轴交点的个数,除了受两个极值大小的制约外,还受函数在两个极值点外部函数值的变化制约,在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件. 【即时训练】 已知定义域为R的奇函数f(x),当x0时,f(x)=ln x-ax+1(a∈R). (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数y=f(x)在R上恰有5个零点,求实数a的取值范围. 方法二 构造函数法研究函数零点问题 【例2】 (2014高考新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2. (1)求a; (2)证明:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点. (2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4. 由题设知1-k0. 当x≤0时,g′(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增, g(-1)=k-10,g(0)=4, 所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根. 当x0时,令h(x)=x3-3x2+4, 则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x). h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增, 所以g(x)h(x)≥h(2)=0. 所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根. 综上,g(x)=0在R有唯一实根, 即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点. 数学